Nehmen wir etwa den 10-dB-Öffnungswinkel einer Richtantenne. Dieser wird üblicherweise im Gradmaß angegeben und gibt mir an, wie breit die „Keule“ der Antenne in Hauptstrahlrichtung ist. Nun könnte man sich fragen, wie breit in Metern das Signal beim Empfänger ist. Damit erhält man ein Gefühl dafür, wie genau die Antennen ausgerichtet und positioniert werden müssen, oder umgekehrt, wie empfindlich der Aufbau gegen Störungen ist. Man könnte sich eine maßstäbliche Planskizze machen und das Ganze mit einem Geodreieck ausmessen. Aber mit einem Taschenrechner geht das viel einfacher. Zuerst stellt man den Taschenrechner auf das Gradmaß (meist DEG genannt) ein. Dann berechnet man den Sinus des Öffnungswinkels und multipliziert das mit der Entfernung.

Der Grund, warum das funktioniert, ist, dass der Sinus mir eben genau die absolute Breite der Keule im normierten Abstand 1 des Einheitskreises berechnet. Und der Strahlensatz sorgt dafür, dass sich diese normierte Breite linear einfach durch Multiplizieren mit der Entfernung zur Breite beim Empfänger umrechnen lässt.

Nun sind diese Winkel bei Richtantennen oft klein und die Entfernungen in Metern groß. Die Taylor-Entwicklung des Sinus besagt, dass der Sinus für kleine Winkel im Bogenmaß näherungsweise gleich dem Winkel ist. Auch das kann man sich geometrisch klar machen. Der Sinus ist die Höhe im rechtwinkligen Dreieck und das Bogenmaß ist die Strecke auf dem Kreisbogen. Für kleine Winkel sind die beiden eben fast gleich.

Und wenn es praktisch ist, findet man noch eine Näherung: Für kleine Winkel ist die Hypothenuse ähnlich lang wie die liegende Kathete der Entfernung, also dem Kosinus. Bei den Funktionen bedeutet das: Man kann anstelle des Sinus auch den Tangens nehmen. Auch das ergibt sich rechnerisch aus der Taylor-Entwicklung des Tangens.

Wenn man es genau nimmt, müsste man die Breite der Keule mit dem Sinus des halben Winkels rechnen und das Ergebnis wieder verdoppeln. Und genau genommen wird der Strahlensatz nicht auf die Waagerechte in der Grafik angewendet, sondern auf die Hypothenuse. Aber auch das ergibt mit der Näherung für kleine Winkel fast das Gleiche.

Anwendung

Hier noch ein konkretes einfaches Beispiel: Eine Richtantenne habe einen Öffnungswinkel von $ \alpha = 1°$ und die Entfernung beträgt $ d = 10 km $. Damit beträgt die Breite b der Keule beim Empfänger:

$$ b = \sin 1° \ * \ 10.000 m \approx 175 m  $$

Hätte man die Sinusnäherung genutzt, ergibt sich:

$$ b = 1° \ * \   \pi / 180° \ * \  10.000 m \approx 175 m $$

Nimmt man den Tangens ergibt sich ebenfalls das Gleiche:

$$ b = \tan 1° \ * \  10.000 m \approx 175 m $$

Es ist also bei kleinen Winkeln in der Praxis egal, wie man das rechnet.

Wenn man Pi allerdings zu 3 abschätzt, ist der Fehler größer:

$$ b \approx 1° \ * \   3/ 180° \ * \  10.000 m  =   1 / 60  \ * \  10.000 m   \approx 167 m $$

Wenn es hier auf den Meter ankommt, sollte man also wenigstens $ \pi \approx 3{,}14 $ als Näherung nutzen.

Wer gern auswendig lernt, kann sich also merken, dass für kleine Öffnungswinkel gilt:

Pro Grad und km beträgt die Breite der Keule gut 17 m.

Als Übungsaufgabe empfehle ich, das mit größeren Winkeln durchzurechnen, um ein Gefühl dafür zu erhalten, wie sich der Fehler entwickelt.

Ausrichtung

Man kann das Ganze auch andersherum betrachten. Bei einem Winkelfehler in der Ausrichtung von nur 1° ist meine Hauptkeule in 10km Entfernung 175m neben dem Ziel. In der Praxis wird man sich eine Vorgehensweise zur Kalibrierung des Aufbaus mit mehreren Antennen mit zunehmender Richtwirkung machen. Das kann auch in unterschiedlichen Frequenzbereichen geschehen. Auf kurze Distanz kalibriert man die breite Antenne auf die schmale. Auf große Distanz benutzt man die breite zum Anpeilen und kann dann auf die schmale umschalten.

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Der Praktiker sagt gern: “Wer viel misst, misst viel Mist”. Betrachten wir hier das zu Grunde liegende Problem etwas theoretischer.

Bringen viele Daten auch viel Erkenntnis? Das hängt davon ab, wie man mit diesen Daten umgeht. Stellen wir uns vor, die unabhängigen Arten von Daten, die wir haben, sind jeweils auf einer Skala. Man kann dann auch sagen, sie stellen eine Dimension dar. Viel Information bedeutet dann, man hat viele Dimensionen. Wenn wir dies versuchen, zusammen darzustellen, erhalten wir einen multidimensionalen Würfel oder einen Hyperkubus. Man kann bei n Dimensionen auch n-dimensionaler Raum sagen.

Um die Informationen nun „als Ganzes“ betrachten zu können, stellt man sich vor, dass wir ausgehend von einem Punkt in diesem Raum die Entfernungen und die Richtungen betrachten. Wir gehen hier davon aus, dass die Auswertung der Daten darauf beruht, dass wir die Datenpunkte auf ähnliche Koordinaten hin untersuchen; genau das ist ihre Entfernung bzw. ihr Abstand zueinander.

Eine typische Art der Datenanalyse ist das Clustering. Dabei wird untersucht, welche Daten im multidimensionalen Datenraum sich “ballen”. In den Ausbreitungsbedingungen der Funktechnik könnte das beispielsweise auf einen Zusammenhang zwischen Sonnenaktivitäten und Bandöffnungen hinweisen.

Das ergibt aber nur Sinn, wenn wir zu allen Richtungen auch den gleichen Umfang an Entfernungen betrachten können. Stellen wir uns auch das geometrisch vor, erhalten wir eine multidimensionale Kugel in unserem multidimensionalen Würfel.

Das Traurige daran ist, dass dabei die Ecken des Würfels keine sinnvoll nutzbaren Daten enthalten, weil sie Abstände haben, die nicht in allen Richtungen vom Startpunkt aus in der Hyperkugel liegen. Wenn wir  uns das konkret in zwei Dimensionen anschauen, dann ist unser 2-dimensionaler Hyperkubus ein Quadrat und die 2-dimensionale Hyperkugel ist ein Kreis. Die beiden haben als Flächeninhalt $ \pi r^2 $ und $ 4 r^2 $. Das Verhältnis von gesammelter und nutzbarer Information ist also $ \pi / 4 \approx 79 \% $. Betrachten wir drei Dimensionen, also eine Kugel und einen Würfel, so erhalten wir nur noch ungefähr 52 % an Nutzbarkeit der gesamten Information. Und dieser Anteil der nutzbaren Information wird mit höheren Dimensionen immer schlechter.

Genauer gesagt liegen die Datenpunkte in einem Histogramm der Entfernungen immer enger gedrängt. Die Unterscheidung, ob sich Datenpunkte wirklich ähnlich sind oder nur aufgrund ihrer „Drängung“ nah beieinanderliegen, geht im Rauschen unter. In der Grafik links sind qualitativ die Verteilungen der normierten Abstände bei 5 Dimensionen gegen die Abstände bei 50 Dimensionen dargestellt. In der Praxis kommen Datenmodelle mit Hunderten oder gar Tausenden von Dimensionen vor. Die Grafiken sind einem umfangreicheren Vortrag von DD1AH über dieses Themengebiet entnommen.

Wie unterscheiden sich Dimensionen von Datenpunkten bzw. Datensätzen? Die Anzahl der Datenpunkte ist im Sinne der Dimensionalität kein Problem. Es sollten in einer Dimension nicht zu wenige sein, so dass eine sinnvolle Statistik damit gemacht werden kann. Dass man also beispielsweise für eine Funkprognose die Anzahl der Sonnenflecken über viele Tage hinweg betrachtet, ist sinnvoll und kein Problem im hier betrachteten Sinne. Wenn man dagegen neben der Anzahl der Sonnenflecken noch viele andere Aspekte betrachtet, dann sollte die hier betrachtete Dimensionalität besonders betrachtet werden, so dass die Auswertung am Ende sinnvolle Ergebnisse liefert.

Diese „zunehmende Nutzlosigkeit“ hoher Dimensionen wurde vom amerikanischen Mathematiker Richard Ernest Bellman „Fluch der Dimensionalität“ genannt. In der Praxis des Machine Learning hat man genau dieses Problem. Die Lösung davon ist, die Dimensionen mit geeigneten Algorithmen nach Art einer Projektion zu reduzieren. Dies ist gerade ein aktuelles Thema der Forschung. In der englischen Wikipedia gibt es einige Visualisierungen dazu.

Was das umgekehrt für Leute bedeutet, die ohne dieses komplizierte statistische Rüstzeug versuchen, mit dem Ansatz „Viel hilft viel“ aus großen Datenmengen oder big data sinnvolle Informationen zu ziehen, kann sich jeder selbst überlegen. Vergleichbare Probleme entstehen auch beim „technischen Mikromanagement“, wenn versucht wird, mit möglichst viel Betriebsdatenerfassung ganze Unternehmen besonders feingranular zu steuern.

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Die Rechenoperation, die dazu geeignet ist, einen Wert mit einer Einheit in einen anderen umzurechnen, der ihm gleich ist, ist das Erweitern. Erweitern bedeutet, es wird mit einem Bruch multipliziert, in dem im Zähler und im Nenner das Gleiche steht. Er hat also den Wert 1. Die 1 ist das neutrale Element der Multiplikation, sie ändert also den Wert nicht. Alles bleibt wie gewünscht gleich.

Nehmen wir ein konkretes Beispiel. Wir wissen, dass wir auf unserer Stromrechnung gemäß unseres “Verbrauchs” in kWh zur Kasse gebeten werden. Das ist die übliche Einheit für elektrische Energie. Die Einheit ist praktisch, weil wir die Leistung unserer Geräte in Watt W kennen und auch in der Praxis gut etwas unter einer Betriebsdauer in Stunden h vorstellen können.

Was aber, wenn wir den Verbrauch in einer physikalischen Berechnung weiterverwenden wollen? Hier wird üblicherweise in Joule J gerechnet. Als Erstes sollte man dazu wissen, dass ein Joule ein Watt W mal eine Sekunde s ist. Ein Kilo k sind 1000, eine Stunde sind 60 Minuten, eine Minute sind 60 Sekunden. Also erweitert man die Einheit so lange, bis man alle Größen der gegebenen Einheit kürzen kann und nur die der gewünschten übrig bleiben. Dabei nutzen wir aus, dass die Multiplikation assoziativ und kommutativ ist, wir die einzelnen Terme also in beliebiger Reihenfolge betrachten können und auch vertauschen dürfen und damit auch über die verschiedenen Brüche hinweg kürzen können:

$$ kWh = kWh * \frac{1000}{k} * \frac {J}{Ws} * \frac {60 min}{h} * \frac {60 s}{min} $$

$$ = {\color{blue}\cancel{k}} {\color{green}\cancel{W}} {\color{red}\cancel{h}} * \frac{1000}{{\color{blue}\cancel{k}}} * \frac {J}{{\color{green}\cancel{W}} {\color{cyan}\cancel{s}}} * \frac {60 {\color{magenta}\cancel{min}}}{{\color{red}\cancel{h}}} * \frac {60 {\color{cyan}\cancel{s}}}{{\color{magenta}\cancel{min}}} $$

Nun sammeln wir alles ein, was übrig geblieben ist, rechnen die Zahlenwerte aus und benutzen die dekadischen Vorsilben, um die Zahlenwerte in einer bequemen Darstellung zu bekommen.

$$ = 1000*60*60\ J = 3.600.000\ J = 3{,}6*10^6\ J = 3{,}6\ MJ$$

Eine Kilowattstunde ist also das Gleiche wie 3,6 Megajoule.

Genauso kann man vorgehen, um km/h in m/s umzurechnen:

$$\frac{km}{h} = \frac{km}{h} * \frac{1000}{k}* \frac{h}{3600s} = \frac{1}{3{,}6} m/s $$

Zurückübersetzt in die Praxis heißt das: Wenn ich mit dem Auto eine Geschwindigkeit von 80 km pro Stunde fahre, bedeutet das, dass eine unaufmerksame Sekunde als Fahrer gut 80/3,6=22 Meter “Blindflug” bedeutet.

Das Schema ist also immer das gleiche:

1. verstehen, wie die gegebenen und die gewünschten Einheiten zusammenhängen
2. passend erweitern
3. passend “diagonal” über die Brüche hinweg kürzen
4. das, was übrig bleibt, zusammenfassen

Beispiele

Hier noch einige Beispiele für Umrechnungen.

$$ 1 = \frac{735,5 W}{PS} = \frac{4,1868 J}{cal} = \frac{1055 J}{BTU} = \frac{J}{N m} = \frac{As}{C} = \frac{W}{VA}$$

Bei Nm muss beachtet werden, dass das nur dann gilt, wenn die Kraft in Newton N und die Strecke in Meter m in die selbe Richtung wirken. Beim Drehmoment stehen die beiden senkrecht aufeinander. Beim Drehmoment gilt dieser Zusammenhang also nicht. Ebenso gilt W=VA nur dann wenn Strom und Spannung in Phase sind, also bei $\cos \varphi=1$ und Spannung und Strom in Effektivwerten angegeben sind. In obiger Gleichung stehen nur Einheiten. Das C steht hier also für die Ladung in Coulomb. Und weil der Kehrwert von 1 wieder 1 ist, kann man von jedem Term auch den Kehrwert nehmen, wo das nützlich ist.

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Beim Programmieren sprechen wir bei einer Zuweisung vom L-Value, also dem linken Wert. Der L-Value ist die Variable, der ein Wert zugewiesen wird. Diese Variable ähnelt beim Programmieren der Variable nach der wir hier auflösen wollen.

Wir verändern hier Formeln, die dabei ihre Aussage nicht ändern. Man sagt, die Formeln sind äquivalent. Und die Umformungen, die die Äquivalenz der Formeln erhalten, nennt man entsprechend äquivalente Umformungen. Um in der Formelschreibweise die Äquivalenz auszudrücken, schreiben wir $ \Longleftrightarrow $. Betrachten wir ein konkretes Beispiel:

$$ U = R I \ \  \Longleftrightarrow \ \ R = {U \over I }$$

Beachte den Unterschied zwischen der Gleichheit von linker und rechter Seite einer Formel und der Äquivalenz zwischen kompletten Formeln.

Um von der linken zur rechten Formel zu kommen, wenden wir äquivalente Umformungen an. Das sind Rechenoperationen, die die Kernaussage der Formel nicht verändern. Das erreicht man dadurch, dass man links und rechts vom Gleichheitszeichen das Gleiche macht. Das, was man macht, kann man rechts neben der Formel hinter einem senkrechten Strich schreiben.

Wie kommt man nun darauf, was man machen sollte? Dazu betrachtet man die Ausgangsformel so, als ob die Variable, nach der wir auflösen möchten, von „Zwiebelschichten“ von mathematischen Operationen eingehüllt ist. Man arbeitet sich dann von außen nach innen über die Umkehrfunktionen an den „Kern“ heran. Hier haben wir es sehr einfach: Das gewünschte R hat nur eine Operation: Die Multiplikation mit I. Die Umkehrung der Multiplikation ist die Division. Wir teilen also beide Seiten durch I.

$$ \begin{align}
U &= R I \ \ \ \ \bigg \vert  /I  \\
\Longleftrightarrow \ \ {U \over I } \ &= R {I \over I }
\end{align} $$

Multiplikationen und Divisionen (als komplette Operationen!) sind kommutativ und assoziativ. Das bedeutet, es ist egal, in welcher Reihenfolge man rechnet und auch welche Operation man zuerst macht. Das nutzen wir hier aus, indem wir rechts die Division durch I gleich zu dem vorher schon vorhandenen I schreiben und das R gar nicht erst in den Bruch mit hineinschreiben. Dass Divisionen und Brüche eng verwandt sind, wird im Rechenkurs in Kapitel 6 genauer erklärt.

Was haben wir erreicht? Die Formel sieht komplizierter aus als vorher. Betrachten wir die einzelnen Terme getrennt. Wir sehen auf der rechten Seite ein I im Zähler und eins im Nenner. Das kann man kürzen. Dann steht da das gewünschte R alleine. Wenn zwei Ausdrücke gleich sind, dann gilt das in beiden Richtungen; genau das bedeutet gleich. Und dann kann man die Seiten vertauschen, sodass wie zuvor erwähnt wie üblich die gewünschte Variable auf der linken Seite steht und wir erhalten:

$$R = {U \over I}$$

Mit mehr Erfahrung wird man einfachere Umformungen „sehen“ und nicht alles ausführlich aufschreiben. Wenn die Formeln zeilenweise untereinander stehen, wird auch gern das Äquivalenzzeichen weggelassen. Als Anfänger sollte man das nicht übertreiben, weil man dabei Rechenfehler leicht übersehen kann.

Betrachten wir noch ein etwas umfangreicheres Beispiel. Gegeben ist die Schwingkreisformel in einer etwas ungewohnten Form, die wir nach f auflösen wollen. Als Erstes muss man dazu wissen, dass die Frequenz f in der Kreisfrequenz $\omega$ steckt. Der Kern der Formel, den wir als Erstes freilegen müssen, ist also das $\omega$. Der erste Schritt ist also genau wie oben. Wir arbeiten uns von außen an das $\omega$ heran, in dem wir durch L und C teilen.

$$  \begin{align}
& \omega^2 L C && = 1 && \bigg \vert   / LC \\ \Longleftrightarrow \ \ \
& \omega^2  && = {1 \over L C}
\end{align} $$

Nun gehen wir an das Quadrat am $\omega$. Die Umkehrung ist die Wurzel. Aus Divisionen kann man genau wie aus Multiplikationen die Wurzel getrennt ziehen und die Wurzel aus 1 ist 1:

$$ \begin{align}
\omega^2  &= {1 \over L C}            && \bigg \vert  \sqrt{…}  \\ \\
\Longleftrightarrow \ \ \sqrt{\omega^2} &= { \sqrt{1 \over LC}}   \\ \\
\Longleftrightarrow \ \ \omega &= { \sqrt{1}  \over \sqrt{LC} }   \\ \\
\Longleftrightarrow \ \ \omega &= {1 \over \sqrt{LC}}
\end{align} $$

Als Nächstes lösen wir $\omega$ zu $2 \pi f $ auf. Und wieder haben wir eine Multiplikation, die wir mit einer Division umkehren. Hier überspringen wir den Teil mit dem Kürzen von $2 \pi \over 2 \pi$, denn wir sind jetzt ja schon erfahrene Umformer, die das gleich „sehen“. Diese Umformung wird umgangssprachlich auch „auf die andere Seite bringen“ genannt. Ebenso lassen wir hier den Äquivalenzpfeil weg, was in Ordnung ist, wenn man die Formeln sauber untereinander schreibt:

$$ \begin{align}
2 \pi f &= {1 \over \sqrt{LC}} \ \ \ \ \bigg \vert  / 2 \pi  \\ \\
f &= {1 \over 2 \pi \sqrt{LC}} \
\end{align} $$

Jetzt erkennen wir unsere Schwingkreisformel wieder und können wie gewohnt damit rechnen.

Als Übungsaufgabe kann diese Formel nach C aufgelöst werden. Bei einer bekannten Frequenz f und einer festen Induktivität L kann dann so die benötigte Kapazität C berechnet werden.

Nenner wird Null

Besonders bei der Division als Umkehrung ist zu beachten, dass die davon betroffene Variable nicht null sein darf. Man sagt, die Null gehört dann nicht mehr zum Definitionsbereich dieser Variable. Diese Fälle sollte man dann gesondert betrachten. Beim Ohm’schen Gesetz kann man dazu sagen, dass es ohne Strom keinen Spannungsabfall gibt und das gilt für alle Widerstände. Ohne fließenden Strom kann man also keine Aussage darüber treffen, wie groß der Widerstand ist.

Bei der Schwingkreisformel kann man sagen, dass L und C beide nicht Null sein können, eben weil es dann gar kein Schwingkreis wäre. Man muss also zwei Fälle unterscheiden: Entweder ist die Null im Nenner physikalisch unsinnig, oder man muss die Null gesondert behandeln.

Ein fortgeschrittenes Beispiel, wie man die Null im Nenner gesondert behandelt, steht in Fourierreihen von Modulationen bei der Amplitudenmodulation.

Umformungen mit mehreren Lösungen

Nicht alle Umformungen sind selbst wieder Funktionen. Wenn man beispielsweise aus einem Quadrat die Wurzel zieht, so wird man oft einfachheitshalber die Wurzelfunktion mit einem positiven Wertebereich („Ergebnis“) annehmen. Aber für eine vollständige Behandlung muss berücksichtigt werden, dass auch das negative Ergebnis der Wurzel beim Quadrat das gleiche Ergebnis liefert. Der Bequemlichkeit halber schreibt man das oft so:

$$x^2 = a \Longleftrightarrow x = \pm \sqrt{a}$$

Man muss sich dabei klar sein, dass diese Schreibweise eigentlich zwei Funktionen beschreibt. Die Umformung erzeugt also zwei Funktionen mit zwei Lösungen, die man üblicherweise durchnummeriert, hier also x₁ und x₂, die beide Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind.

$$ x_1 = \sqrt{a}    \ \ ;   \   x_2 = -\sqrt{a}$$

In konkreten Zahlen bedeutet das mit $a=4$, dass sowohl $x=2$ als auch $x=-2$ Lösung der Gleichung ist.

Oben bei der Schwingkreisformel erhalten wir so also auch eine negative Frequenz. In diesem Fall kann man die negative Lösung ignorieren, denn negative Frequenzen verhalten sich grundsätzlich genau wie positive. Anders ist das beispielsweise bei der sogenannten Mitternachtsformel. Hier steht die Wurzel mitten in der Gleichung und so kommen für das x zwei verschiedene Werte heraus. Das wird im Artikel über die Parabolantenne behandelt.

Ein Beispiel mit Logarithmus

Möchte man den in dBi angegebenen Gewinn g_i einer Antenne in den Gewinnfaktor G_i umrechnen, so wie man ihn zur Berechnung der isotropen Strahlungsleistung einer Antenne EIRP benötigt, muss man die Berechnung umkehren.

$$ g_i = 10 \log_{10}{G_i} $$

Arbeiten wir uns also wieder von außen nach innen an das gewünschte G_i heran:

$$ \begin{align}
g_i        & = 10 \log_{10}{G_i}  &&  \bigg \vert  / 10  \\ \\
g_i / 10 & = \log_{10}{G_i}      &&  \bigg \vert  \text{10 hoch … und Seiten tauschen } \\ \\
G_i & = 10^{g_i/10}
\end{align} $$

So erhalten wir aus dem Gewinn in dBi g_i den Gewinnfaktor G_i, den wir nutzen können, um aus unserer Senderleistung das EIRP zu berechnen. Mehr dazu steht im Artikel über die Feldstärke.

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Die Potenz ist uns als Operation beim Rechnen vertraut. Ebenso die Wurzel und der Logarithmus. Und den meisten ist wohl auch klar, dass diese Operationen zwei Parameter haben, die verschiedene Dinge tun.

Der Einfachheit halber meinen wir hier die Wurzelfunktion. Das bedeutet, es gilt immer das positive Ergebnis. Wer sich beim Rechnen mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmen noch nicht ganz sicher ist, arbeitet am besten noch mal den Rechenkurs durch.

Und daraus kurz zur Erinnerung: Bei Addition und Multiplikation tun die beiden Parameter das gleiche. Man kann also bei a+b sowohl für a als auch für b die gleiche Umkehrung anwenden, eben die Subtraktion. Im Gegensatz dazu geht das bei der Potenz a^b nicht.

Und für die Profis hier noch der Hinweis: Wir betrachten hier die Funktionen im Reellen.

Potenz und Wurzel sind Umkehrfunktionen zueinander. Aber wenn zwei Parameter im Spiel sind, die etwas Unterschiedliches tun, dann gibt es auch zwei Arten von Umkehrungen. Und diese zweite Art der Umkehrung zur Potenz ist der Logarithmus.

Hier noch zur Erinnerung die beiden Umkehrungen:

$$ \begin{align}
a = x^b \ \   &  \Longleftrightarrow \ \  x = \sqrt[b]a  \\
a = b^x \ \   &  \Longleftrightarrow \ \  x = \log_b a
\end{align} $$

Beachte, dass die Variablen in den Zeilen unabhängig genutzt werden. Generell werden die ganzen a, b und x in diesem Artikel immer wieder neu genutzt.

Diese drei Funktionen stehen quasi in einem Dreieck in einer Umkehr-Beziehung zueinander. Das bedeutet also, dass der Logarithmus auch eine Umkehrung der Wurzel ist. Diese kommt genau dann zum Zuge, wenn die Variable, nach der ich auflösen möchte, nicht die Zahl unter der Wurzel ist, sondern der sogenannte Wurzelexponent, also das, was bei der gewöhnlichen Quadratwurzel die zwei ist.

$$ \sqrt[x]{a} = b \ \ \Longleftrightarrow \ \   x = \log_{b}{a} $$

Eine historische Merkwürdigkeit ist dabei, dass Wurzel und Potenz symbolisch geschrieben werden, aber der Logarithmus mit seinem abgekürzten Namen geschrieben wird, so wie wir das beim Programmieren gewohnt sind.

Etwas, das man immer beachten sollte ist, dass alle drei Funktionen zwei Parameter haben, auch wenn einer davon einen Default hat und oft nicht hingeschrieben wird, also bei der Wurzel die 2 und beim Logarithmus entweder die 10 oder die Euler’sche Zahl e.

Diese Dreiecks-Beziehung kann man sich mit einer symbolischen Schreibweise merken:

$$ \sideset{_2}{_8}{ \overset 3 \Delta } $$

Wichtig ist zu beachten, dass dieses Dreieck eine vollständige Gleichung beschreibt. Es ist also nicht einfach eine Rechenoperation. Und es ist auch nicht allgemein etabliert oder verbreitet. Aber ich denke, es ist als “Eselsbrücke” geeignet.

Die linke Ecke ist die Basis der Potenz und des Logarithmus, oben steht der Exponent oder die Wurzel und rechts das Argument von Wurzel und Logarithmus. Nun kann man immer paarweise zwei Ecken lesen und die dritte Ecke ist das Ergebnis. Klassisch aufgeschrieben steht da also

$$ 2^3=8  \ \Leftrightarrow \  \log_2 8 = 3 \ \Leftrightarrow \ \sqrt[3]{8} = 2 $$

So lassen sich bestimmte Rechenregeln wie eine Formelsammlung übersichtlich aufschreiben.

$$ \sideset{_a}{_a}{ \overset 1 \Delta }\ , \ \
\sideset{_a}{_1}{ \overset 0 \Delta }\ , \ \
\sideset{_0}{_0}{ \overset a \Delta }\ , \ \
\sideset{_1}{_1}{ \overset a \Delta }\ , \ \ \
\sideset{_a}{_c}{ \overset b \Delta } \Leftrightarrow  \sideset{_c}{_a}{ \overset {1/b} \Delta }$$

Das liest sich dann also am ersten Fall erklärt so: Eine beliebige Zahl a hoch 1 ergibt wieder a. Daraus ergibt sich, dass der Logarithmus zur Basis a von a immer 1 ist.

Interessant sind dabei die Fälle mit zwei konstanten Zahlenwerten. Diese beschreiben nicht definierte Lösungen. So ist der Logarithmus zur Basis 1 nicht definiert, denn gemäß einer Rechenregel müsste er sich berechnen lassen, indem man durch den Logarithmus von 1 teilt. Der ist aber immer 0.

Besonders die letzte Beziehung ist spannend. Da steht zum einen, dass eine b-te Wurzel das Gleiche ist wie eine Potenz von 1/b. Aber da steht auch, dass beim Logarithmus durch Vertauschen von Basis und Argument sich im Ergebnis einfach der Kehrwert ergibt:

$$ \log_{a}{10} = 1 / \log_{10}{ a} $$

Diese enge Beziehung zwischen diesen Funktionen lässt sich nutzen, um Rechenregeln herzuleiten und zu beweisen:

Logarithmen von Produkten

$$  \log_c{a b } =  \log_c{a} +  \log_c{b}$$

Nehmen wir beide Seiten als Potenz zur Basis c:

$$ c^{\log_c{ab}} = c^{\log_c{a} + \log_c{b}} $$

Links hebt sich die Potenz zur Basis c und $\log_c$ direkt weg, rechts ziehen wir zuerst noch die Summe der Exponenten zu Produkten von Potenzen auseinander:

$$ ab = c^{\log_c{a} } c^{\log_c{b}} $$

Jetzt fällt auch rechts beide Male das $c^{\log_c} $ weg und wir erhalten die wahre Aussage ab=ab, womit die Formel bewiesen ist.

Logarithmen von Potenzen

Wenn a und b gleich sind, kann man das auch als Potenz schreiben und daraus folgt dann, dass die Exponenten zu Vorfaktoren werden:

$$ \log{a^n }
= \log{ ( \underbrace{a*…*a}_{n \ Mal} )}
= \underbrace {\log a + … +\log a}_{n \ Mal }
= n \log{a} $$

Ohne das genauer zu beschreiben sei hier noch erwähnt, dass der Exponent auch eine reelle Zahl sein darf.

Umrechnung der Basis

Bekannt ist die Rechenregel zur Umrechnung einer Basis c in eine Basis b:

$$\log_c{a} = \log_b{a} \ / \  { \color{blue} \log_b{c}}$$

Um das zu beweisen, bringen wir den Nenner auf die andere Seite.

$$ { \color{green} \log_c{a}} \  \  { \color{blue}   \log_b{c} } = \log_b{a} $$

Vorfaktoren vor Logarithmen lassen sich als Exponent im Argument schreiben.

$$   \log_b{c^{ \color{green} \log_c{a}}} = \log_b{a} $$

Exponentialfunktion und Logarithmus der gleichen Basis c sind Umkehrfunktionen und fallen damit also weg.

$$   \log_b{a} = \log_b{a} $$

Wir haben also die bekannte Formel in eine offensichtlich wahre Aussage überführt und die Formel damit bewiesen.

Oben haben wir gezeigt, dass sich beim Vertauschen der Parameter der Kehrwert ergibt. Das lässt sich auch mit dem hier beschriebenen Wechsel der Basis herleiten. Nehmen wir an, wir haben einen Logarithmus, den wir gern durch die Basis seines Arguments a ausdrücken wollen:

$$ \log_c a = \log_a a / \log_a c $$

Wenn beim Logarithmus Basis und Argument gleich sind, ist das Ergebnis immer 1, also ergibt sich auch mit dieser Herleitung:

$$ \log_c a = 1 / \log_a c $$

Wenn wir bei einer Logarithmusfunktion, die wir beispielsweise in einer Programmierbibliothek haben, nicht sicher wissen, welche Basis sie benutzt, schadet es nicht, immer diese Regel anzuwenden. Denn sollte es ohnehin schon die richtige sein, ist der Nenner 1.

$$ \log_c a = \log_c a / \log_c c $$

Logarithmen mit Potenzen in der Basis

Aus der Verkettung von Potenzen lässt sich ableiten, dass Potenzen von Basen von Logarithmen sich als inverser Vorfaktor rechnen lassen. Dazu löst man einmal die Gleichung mit b auf der linken Seite gleich dem grünen Teil nach x auf und dann mit b gleich der blauen Seite. Und dann betrachtet man die beiden rechten Seiten, hier in Violett:

$$ \begin{align}
& b && = { \color{green} (a^n)^x } && = { \color{blue} a^{n x} } \\
\Rightarrow \ & x &&= { \color{magenta} \log_{a^n}b } && = { \color{magenta} 1/n \ \log_a b }
\end{align}$$

Mithilfe der Primfaktorzerlegung von b und der Regel $\log_a a = 1$ lässt sich ein Ausdruck mit Logarithmen damit oft weiter vereinfachen.

$$ \begin{align}
x & = \log_9 333 \ \         && \big \vert zerlege \  333 \ in \ Faktoren\\
& = \log_9 (9 * 37) \ \     && \big \vert zerlege \ Faktoren \ in \ Summen; \  Basis \  als \ Exponent  \\
& = 1+\log_{3^2}37 \ \  && \big \vert ziehe \ Exponent \ der \ Basis \ aus \  Logarithmus \\
& = 1+ 1/2 \ \log_3 37
\end{align}$$

Das natürlich nur unter der Annahme, dass man kleinere Zahlen als Vereinfachung betrachtet, auch wenn dann mehr Rechenoperationen nötig sind. Müsste man das im Kopf rechnen, schätzt man log 37 zu log 40 = log 2*2*10 ab und kommt mit den bekannten Werten auf 1,6. Für log 3 nimmt man grob die Mitte von log 2 und log 2*2 an und rundet mutig zu 0,5 im Nenner, also mal 2. Vor dem Logarithmus steht noch mal 1/2, das kürzt sich weg. Das geschätzte Ergebnis ist dann:

$$ 1+  1{,}6 = 2{,}6 $$

Das ist vom genaueren Ergebnis 2,643 nicht so weit entfernt und reicht  für viele technische Berechnungen aus.

Die Idee mit den Dreiecken ist aus einer Antwort von 2’5 9’2 auf die Frage nach einer eleganteren Schreibweise für die Rechenoperationen auf StackExchange.

Ein sehr schönes Video zu dem Thema gibt es von 3Blue1Brown, einem sehr guten Youtube-Kanal über mathematische Themen. Er nennt das Dreieck Triangle of Power.

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Auf einer vernünftig gewählten linearen Skala der Zeit sieht das natürlich ganz anders aus. Hier hat also eine willkürliche Wahl der Skala die Realität verzerrt. Das Wettrennen wird sehr klar ausgehen und Achilles wird schnell siegen. Dieses Gedankenexperiment verleitete den alten Griechen Zeno zum Trugschluss, dass er dachte, einen Beweis dafür gefunden hätte, dass Bewegung eine Illusion sei. Schon eine falsche Wahl der Skala führte hier zu einer Fehlinterpretation.

Ein anderes Beispiel zeigt, dass nicht nur die Skala zu Problemen führen kann, sondern auch manche Fragestellungen sich einfach nicht beantworten lassen. Stellen wir uns jemanden vor, der mit seinem Hund nach Hause geht. Ab einer gewissen Entfernung von der Haustür läuft der Hund auf das Haus zu. Aber wenn er merkt, dass er dort allein ist, rennt er wieder zurück bis zu dem Punkt, wo der Mensch, der mit konstanter Geschwindigkeit weitergeht, nun ist. Dann wiederholt sich das Spiel. Betrachten wir dies mathematisch idealisiert: Haus, Mensch und Hund sind Punkte auf einer Achse. Hund bewegt sich doppelt so schnell wie Mensch und benötigt zum Wenden keine Zeit.

Zum Warmwerden eine einfache Frage: Welche Strecke legt der Hund zurück ab der Entfernung x wo er beginnt hin und her zu laufen, bis der Mensch am Haus ist? Man könnte umständlich die hin- und hergelaufene Strecke aufsummieren, aber die Lösung ist viel einfacher: Der Hund ist doppelt so schnell wie der Mensch. Also läuft er in der gleichen Zeit die doppelte Strecke. Diese Frage lässt sich also ganz einfach beantworten.

Der Hund läuft permanent entweder zum Menschen oder zum Haus. Jetzt ist also die eigentliche Frage: In welche Richtung läuft der Hund, als der Mensch beim Haus ankommt? Die Frage klingt bei naiver Betrachtung ganz einfach. In eine Richtung muss er ja durch die Idealisierung laufen. Aber der zeitliche Abstand zwischen den Umkehrpunkten wird immer dichter. Im letzten Moment, bevor der Mensch das Haus erreicht, “vibriert” der Hund quasi mit unendlicher Frequenz hin und her und wir können keine Richtung berechnen.

Betrachtet man die Richtungen als Zahlen, also beispielsweise 1 für “zum Haus” und -1 für “zum Mensch”, dann können wir eine Zahlenfolge aufstellen. Auch diese hat durch die “Vibration” am Ende unendlich viele Punkte. Nun können wir argumentieren, dass die Richtung der Grenzwert dieser Folge sein soll. Eine Folge, die zwischen zwei Zahlenwerten hin und her springt, hat aber keinen Grenzwert. So können wir hier mathematisch argumentieren, dass der Hund keine definierte Richtung hat.

Es gibt noch eine andere Betrachtung. Der italienische Mathematiker Ernesto Cesàro hat herausgefunden, dass bei einer Folge, die einen Grenzwert hat, auch die Folge aus den Mittelwerten über n Elemente den gleichen Grenzwert hat. Diese Definition des Grenzwerts ist also gleichwertig. Man kann dieses Cesáro-Mittel aber auch auf Folgen anwenden, die keinen Grenzwert haben. Durch diese Methode lässt sich aber ein Grenzwert berechnen. Der Grenzwert für den Mittelwert von unendlich vielen -1 und 1 ist 0. Ohne das genauer zu erklären oder gar zu beweisen, kann ich hier also argumentieren, dass der Grenzwert der Richtungen am Ende 0 ist. 0 entspricht aber keiner Richtung des Hundes. Ich habe mit dieser Cesáro-Methode also ermittelt, dass der Hund mathematisch exakt auf einem Umkehrpunkt und damit im Stillstand ist, also keine Richtung hat.

Funktechnik

Ein Beispiel dafür, dass es nicht egal ist, auf welcher Skala wir uns bewegen, sind Frequenzen und Wellenlängen. Nehmen wir als simples Rechenbeispiel eine Bandbreite von 2 MHz auf 50 MHz Mittenfrequenz. Wir beschreiben damit den Frequenzbereich von 49 bis 51 Mhz, also symmetrisch um 50 MHz +/- 1 MHz.

Rechnen wir das aber um in Wellenlängen, so bewegen wir uns mit c gleich rund 3*10⁸m/s gerechnet bei 6 m um 12,2 cm nach oben auf 6,122 m und um 11,7 cm auf 5,882 m nach unten. Aus einer symmetrischen Bandbreite auf der Skala der Frequenzen ist eine unsymmetrische geworden, wenn wir die Wellenlänge betrachten.

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  +-------------dezi
  |+----------- centi
  ||+---------- milli
  |||   +------ mikro
  |||   |   +-- nano
  |||   |   |
  dcm   µ   n  ← dekadische Vorsilbe
0 123 456 789  ← 10 hoch minus ...
0,000.000.000  ← Stellen der Zahl
   ||   |   |
   ||   |   +-- PPB (parts per billion)
   ||   +------ PPM (parts per million)
   |+---------- ‰   (Promille)
   +----------- %   (Prozent)

Wenn etwa eine Spannung von 1 V auf 1 µV (gleich 10^-6V) genau eingehalten wird, so hat die Spannungsquelle eine maximale Abweichung von 1 PPM. Und wenn eine Strecke von 1 m auf 1 cm genau eingehalten wird, so ist sie auf 1 % genau.

Dabei ist zu beachten, dass die dekadischen Vorsilben normalerweise absolute Werte beschreiben, während die Anteile relativ auf einen anderen Wert bezogen sind. Die Abweichung als Zahl wird mit dem Bezugswert multipliziert.

Wenn also ein Oszillator auf 20 MHz eine Abweichung von 5 PPM hat, dann beträgt seine absolute maximale Abweichung:

5 PPM von 20 MHz = 20*10⁶Hz * 5*10^-6 = 100 Hz

Wenn eine Spannungsquelle mit 20 V auf 50 mV genau ist, dann beträgt ihre relative Abweichung:

50 mV / 20 V = 0,0025 = 2,5 ‰

Volumen und Masse von Wasser

Wasser hat eine Dichte von 1 kg pro Liter. Man sagt auch einfach “Dichte Eins”.

Da die heutigen elektronischen Waagen sich viel genauer ablesen lassen als Messbecher kann man deshalb ausnutzen, dass für Wasser die Zahlenwerte von ml und g das gleiche sind und anstelle des Messbechers die Waage benutzen. Umgekehrt kann man so Messbecher auch prüfen und quasi kalibrieren. Besonders die billigen aus Kunststoff haben oft deutliche Abweichungen. Bevor man aber voreilige Schlüsse zieht und alle Messbecher wegwirft, sollte man bedenken dass auch eine Waage schlecht kalibriert sein kann. Um das zu prüfen kann man sich ein Prüfgewicht besorgen. Diese Art Messgeräte abzugleichen nennt man eine Rückführung auf ein Normal.

Alles, was eine niedrigere Dichte hat, wie die meisten Kunststoffe und Holzarten, schwimmt. Und alles, was eine höhere Dichte hat wie die meisten Gesteine und Metalle, geht unter.  Bei Volumenangaben in Bruchteilen von Liter und Kubikmeter kommt man leicht durcheinander, weil sich die dekadischen Vorsilben beim Meter auf eine Kante beziehen und damit selbst hoch drei genommen werden während beim Liter sich die Vorsilbe gleich auf das Volumen bezieht. Hier also ein kleiner Spickzettel um sich die Zusammenhänge zu verdeutlichen: Link zu Google Drive.

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Wie ermittelt man den „Frequenzbedarf“ einer Modulationsart? Dazu kann man sich die Fourierreihe ausrechnen. Damit die Reihenentwicklung funktioniert, müssen ein paar Randbedingungen bei der Beschreibung der Modulation passen. Die Beschreibung muss periodisch sein und die Integration muss über eine vollständige Periode durchgeführt werden. Damit das einfach funktioniert, betrachten wir für die NF einen reinen Sinus und die HF als ganzzahliges Vielfaches f der Frequenz der NF. Schauen wir uns zuerst ein Beispiel für AM (genauer DSB) an:

Amplitudenmodulation

Für die Reihenentwicklung brauchen wir als Erstes einen Term, der die Schwingung periodisch beschreibt. Das ist hier $\sin(fx) \sin(x)$. Damit beschreiben wir den einfachsten Fall, dass die NF mit dem Sinus beschrieben wird und die HF um den Faktor f höher ist. AM wird mathematisch durch das Produkt der beiden Terme beschrieben. Und dazu kommt der Fourierterm, den wir hier mit dem Kosinus von kx ansetzen. Der Faktor k wird später die Nummer der Fourier-Koeffizienten sein. Die Faktoren k und f nehmen wir hier als ganzzahlig an. Beim f ergibt sich das daraus, dass der vordere Teil periodisch sein muss. Beim k ergibt es sich aus der Definition der Fourierreihe.

$$  \int \sin(f x) \sin(x) \cos(k x) dx$$

Viele Funkamateure haben heute einen Raspberry Pi. Beim Standard-Betriebssystem Raspbian, einer Variante von Debian, ist das Algebra-System Mathematica der Firma Wolfram dabei. Sonst habe ich hier gern Wolfram Alpha benutzt, welches ebenfalls von Wolfram kommt und als Web-Service angeboten wird. Ähnlich wie wir bei Gnu Octave gesehen haben, wird der Ausdruck etwas komplizierter, weil er hier genauer definiert werden muss.

Integrate[Sin[f *x] Sin[x] Cos[k*x], x, 
Assumptions -> {Element[f, Integers], Element[k, Integers]}]

Vorn steht der zu integrierende Ausdruck, dahinter das x über das integriert wird. Assumptions sind wörtlich Annahmen, man könnte auch sagen „Zusicherungen“, dass die Variablen f und k Elemente der Ganzen Zahlen („Integers“) sind. Mit Shift-Enter erhalten wir das Ergebnis:

$$\frac{1}{4} \left(\frac{\sin (x (f-k-1))}{f-k-1}+\frac{\sin (x (f+k-1))}{f+k-1}-\frac{\sin (x (f-k+1))}{f-k+1}-\frac{\sin (x (f+k+1))}{f+k+1}\right)$$

Wir erhalten einen Ausdruck, der das x ausschließlich als Argument von Sinus-Funktionen enthält. Unter Berücksichtigung der Intervallgrenzen und der ganzzahligen Faktoren ist der komplette Ausdruck 0. Das kann also nicht die ganze Wahrheit sein.

Hier sollte klar sein, dass die Fourierreihe Terme enthalten muss, die ein x außerhalb von Sinus und Kosinus enthält. Da die beiden Funktionen bei 0 und $2 \pi$ gleich sind, fallen andere Terme bei der Bildung des bestimmten Integrals mit den Grenzen 0 und $2 \pi$ weg.

Aber im Nenner stehen Ausdrücke mit der Differenz von f und unseren Fourier-Koeffizienten k. Diese Ausdrücke können Null werden. Der Quotient ist dann unbestimmt.

Man sagt hier gern „Durch Null darf/kann man nicht teilen“. Das ist oft aber nur die halbe Wahrheit. Wenn man eine Formel untersucht, die im weiteren Verlauf einen Nenner von Null entwickeln kann, so kann man dieses Wissen gleich in die Formel hineinstecken und Mathematica findet dann auf einem anderen Weg doch eine Lösung. Aus der Schule sind vielleicht noch die hebbaren Definitionslücken bei rationalen Funktionen bekannt. Diese beschreiben ein vergleichbares Phänomen.

Schauen wir uns also noch mal das Integral von genau diesen Werten von $k=f‬-1$ an, von dem wir wissen, dass er einen Nenner von Null erzeugen würde. Hier erweitern wir die zu integrierende Variable x noch um die Integrationsgrenzen. Hier nehmen wir eine vollständige Periode der NF, also 0 und $2 \pi$. Und dazu fordern wir eine Vereinfachung („Simplify“) an, mit der Annahme, dass f wieder eine Ganze Zahl ist und zudem größer als 2, also mehr als doppelt so viel wie die NF sein muss.

$$  \int_0^{2 \pi} \sin(f x) \sin(x) \cos((f-1) x) dx$$

Simplify[Integrate[Sin[f*x] Sin[x] Cos[(f - 1)*x], {x, 0, 2*Pi}], 
Assumptions -> {Element[f, Integers], f > 2}]

$$ \frac{\pi }{2} $$

Wir erhalten einen konstanten Term für einen Fourier-Koeffizienten. Den anderen erhalten wir für $k=f+1$ zu $-\frac{\pi }{2}$, also dem gegenphasigen Signal. Machen wir uns nun klar, dass die Fourier-Koeffizienten $k= f \pm 1$ genau zwei Frequenzen links und rechts der HF sind und der Abstand mit der Periode der Entwicklung der Fourierreihe die NF ist. Und damit erhalten wir das für AM erwartete Ergebnis, dass die Modulation genau zwei Frequenzen bei HF+NF und HF-NF erzeugt. Die Bandbreite für AM ist also genau das Doppelte der höchsten Frequenz der NF. Aus den Additionstheoremen ergibt sich das natürlich auch ohne den Umweg über Integrale und Fourier. Aber es ist doch schön, dass zwei Rechenwege zum selben Ergebnis führen.

Wir haben hier eine Menge Annahmen hineingesteckt. Beispielsweise setzt die Betrachtung nur eines Sinus für die NF voraus, dass hier das Superpositionsprinzip gilt. Das bedeutet, die in der Praxis vielfältigen Frequenzanteile der NF beeinflussen einander in der Modulation nicht. Und natürlich auch, dass die NF sich eindeutig in Sinuswellen zerlegen lässt. Die eindeutige Zerlegung der NF in sinusförmige Frequenzen folgt wieder direkt aus der Fourierzerlegung. Das Superpositionsprinzip ist eine Eigenschaft von linearen Verfahren. Anschaulich gesagt bedeutet es, dass sich die NF nicht selbst moduliert. Das werden wir hier nicht weiter vertiefen.

Frequenzmodulation

Aus den Prüfungsunterlagen ist vielleicht schon bekannt, dass die Amplituden der Frequenzen bei FM aus den Besselfunktionen ermittelt werden können. Tun wir als Erstes so als wüssten wir das nicht und versuchen die Amplituden so ähnlich wie bei AM aus der Fourierreihe zu ermitteln.

Schaut man sich eine übliche analoge, traditionelle Schaltung für FM an, so finden wir eine Kapazitätsdiode in einem LC-Schwingkreis. In Abhängigkeit vom Signalverlauf der NF wird also die Frequenz der HF verschoben. Ganz naiv könnte man annehmen, dass das auch genau der Frequenzbedarf wäre. Das würde aber heißen, dass die Fourierreihe aus genau einer Frequenz besteht, die sich über die Zeit hinweg ändert. Das entspricht aber nicht der Definition einer Fourierreihe. Wir erwarten hier konstante Pegel von konstanten Frequenzen. Zudem würde das bedeuten, dass der Hub genau der Bandbreite entspricht. Das ist ebenfalls nicht der Fall.

Der gedankliche Fehler liegt hier darin, dass wir uns die Modulation als Momentaufnahme angesehen haben. Betrachten wir die Modulation aber wie oben bei AM im Zusammenhang einer kompletten Periode der NF, so erkennen wir, dass die NF die Steigung der HF ändert. Es ist nicht einfach eine Veränderung der Frequenz der HF, sondern der Sinus wird verzerrt und ist eben kein Sinus mehr. Das ergibt eine Menge an Frequenzanteilen.

Genau wie oben bei AM machen wir die gleichen Annahmen und Vereinfachungen und betrachten die HF als ganzzahliges Vielfaches der NF. Einfache Algebra-Programme wie das kostenlose Wolfram Alpha scheitern dennoch hier am Zeitbedarf der Analyse. Nur wenn man die Aufgabe weiter extrem vereinfacht, bekommt man eine Lösung. Hier fragen wir nach einer sehr niedrigen HF=3*NF und dem Fourier-Koeffizienten für HF+NF, also dem vierten:

$$ \int_0^{2 \pi} \sin(3 x + \sin(x))\sin(4 x) =  \pi (5520 J_3(1) – 936 J_2(1)) \approx 1.38246 $$

Die Formel wurde hier vereinfacht. Es wurde keine explizite Frequenz für die NF angegeben und die HF wurde als Verhältnis zur NF angegeben. Dadurch bleibt die Formel übersichtlich und einfach zu lesen. Der Nachteil ist, dass das Ergebnis schwieriger zu interpretieren ist. Der interessierte Leser sei ermuntert, hier seine eigenen Anpassungen vorzunehmen. Ich rate aber, erst weiterzulesen und mit der weiter unten beschriebenen numerischen Formel zu arbeiten.

Die beiden J sind genau die eingangs erwähnten Bessel-Funktionen erster Gattung und davon die dritte und die zweite. Die Lösung ist sehr kompliziert. Und es wird nicht einfacher dadurch, dass wir das ursprüngliche Problem vereinfacht haben. Denn nun müssten wir das für jede HF-Frequenz und jeden Fourier-Koeffizienten einzeln ausrechnen.

Aber wir wissen jetzt, dass mit den Bessel-Funktionen als Teil der Lösung die Fourierreihen eine sehr große Bandbreite belegen. Die spannende Aussage ist: Bei FM ist die Bandbreite nicht durch die Modulation begrenzt. Wir müssen das nachträglich mit Filtern erledigen. Und die Konsequenz daraus ist, dass der Informationsgehalt und die Möglichkeit zur Rekonstruierung des Signals, also seiner Demodulation, nicht von der vollständigen Übertragung aller Frequenzanteile abhängt. Denn sonst würde FM einfach nicht funktionieren.

Stecken wir nun doch unser Wissen über das erwartete Ergebnis hinein, so hätten wir hier als Ergebnis eigentlich $\pi \ J_1(1)$ als Ergebnis erwartet. Und wenn wir nach dem numerischen Wert fragen, kommt im Rahmen der Rechengenauigkeit auch das gleiche heraus. Das ist ein weiterer Hinweise darauf, dass wir selbst mit Mathematica hier an der Grenze sind was wir symbolisch ausrechnen lassen können.

Mathematica bietet uns eine andere Möglichkeit, die Ergebnisse zu erhalten. Da wir wissen, dass die analytische Lösung die Besselfunktionen erfordert und wir diese nicht geschlossen dargestellt bekommen, konzentrieren wir uns auf die Zahlenwerte, also die numerische Lösung. Die Fourier-Koeffizienten erhalten wir durch eine For-Schleife. Hier im Beispiel mit einem Frequenzverhältnis f von 10. Der Modulationsindex mi (in der Literatur oft mit dem kleinen griechischen Eta $\eta$ bezeichnet) setzen wir auf die erste Nullstelle der Nullten Besselfunktion J0. Diese gibt die Amplitude des Trägers an, der in diesem Fall Null ist.

Hinweis: Da wir hier die NF als „Referenzfrequenz“ nutzen und das Integrationsintervall damit die Periodendauer von 0 bis $2 \pi$ ist, ist der Vorfaktor vor der NF gleich der Modulationsindex.

Das NIntegrate bildet das Integral direkt in numerischer Form. Es ist erheblich schneller als die exakte symbolische Variante. Wir können so einfach und schnell verschiedene Werte ausprobieren. Die Nummern der Fourier-Koeffizienten k sind die Schleifenvariable. Die Ergebnisse sammeln wir im Array a ein.

f = 10
mi = 2.4048255576
For[k = 1, k <= 2*f, k++, 
  a[k] = 
    NIntegrate[
      Sin[f*2*Pi*x + mi*Sin[2*Pi*x]] Sin[2*Pi*k*x], {x, 0, 1}
    ]
]

Die Ergebnisse können wir uns mit TableForm ansehen.

TableForm[Array[a, 2*f], TableHeadings -> {Automatic, Automatic}]

Nun begrenzen wir die Bandbreite, indem wir die Anteile mit einer kleinen Amplitude auf Null setzen.

For [n = 1, n <= 2 f, n++, If[Abs[a[n]] < 0.01, a[n] = 0]]

Die Werte lassen sich mit ListPlot grafisch darstellen. In vielen Darstellungen wird darauf verzichtet, das Vorzeichen mit anzugeben. Da das Ergebnis aber symmetrisch zum Träger ist, könnte man sich fragen, warum es kein “FM-SSB” gibt. Die Antwort ist, dass die positiven und negativen Amplituden der verschiedenen Anteile bei einem komplizierter zusammengesetzten Signal nicht aus einem Seitenband rekonstruiert werden können. Nur bei einer einzelnen Sinus-Frequenz ergibt sich dieses einfache Bild.

ListPlot[Array[a, 2*f], Filling -> Axis, PlotRange -> All]

Wenn also die Fourierreihe verschiedene Amplituden hat, könnte man sich fragen, wieso FM mit einem Begrenzer-Verstärker auf der Empfängerseite funktioniert. Denn scheinbar steckt wichtige Information in der Amplitude. Der Punkt ist hier aber, dass die Fourier-Anteile in Summe eben doch eine konstante Amplitude haben und der Begrenzer auf der Zeitachse genau diese Summe aller Anteile „sieht“.

Schließlich vergleichen wir die resultierende Schwingung, in dem wir die Koeffizienten alle wieder aufsummieren. Dazu lassen wir uns die ursprüngliche Modulationsgleichung mit einem etwas reduzierten Pegel von 0,4 anzeigen, sodass wir die Kurven besser vergleichen können. Und außerdem gibt es noch zwei Hilfslinien bei Amplitude +/- 0,5.

Plot[{
  0.5, -0.5, 
  .4*Sin[f*2*Pi*x + mi*Sin[2*Pi*x]], 
  Sum[a[k]*Sin[k*2*Pi*x], {k, 1, 2 f}]},
 {x, 0, 1}]

Man sieht sehr schön, dass sich die ursprüngliche Modulationsfunktion praktisch nicht in den Nullstellen vom rekonstruierten Signal mit begrenzter Bandbreite unterscheidet. Nur die Pegel weichen etwas ab. Aber in diesen wird, wie wohl bekannt ist, bei FM keine Information übertragen.

In diesem Beispiel wurde der Modulationsindex mi mit der ersten Trägerauslöschung angesetzt. Dieser Wert wird meist einfach mit 2,4 angegeben. Da für die Besselfunktion keine Umkehrfunktion bekannt ist, kann die Nullstelle nicht exakt angegeben werden. Aber auch ein ungefährer Wert reicht, um aus der NF-Frequenz, die eine Nullstelle beim Träger erzeugt, den Modulationsindex abschätzen zu können.

Wie oben schon gesagt, wurde die Formel einfach mit dem Verhältnis zwischen HF und NF aufgestellt. Dadurch ist der Vorfaktor bei der NF gleich direkt der Modulationsindex. Überlegt man sich das für eine NF-Bandbreite und berücksichtigt, dass in der Praxis die Bandbreite nicht über abgezählte Fourierkoeffizienten, sondern über absolute Frequenzen begrenzt wird, ergeben sich weitere interessante Fragestellungen. Beispielsweise: Wie ist der Zusammenhang zwischen NF-Bandbreite und Modulationsindex und wie wirkt sich die Begrenzung der Bandbreite auf den Übertragungsfehler bei verschiedenen NF-Frequenzen, also den Klirrfaktor aus?

Mit Mathematica kann man sich bei Bedarf auch die Besselfunktionen anzeigen und ausrechnen lassen.

Plot[{BesselJ[0, x], BesselJ[1, x], BesselJ[2, x]}, {x, 0, 10}]

Lässt man sich noch höhere Besselfunktionen anzeigen, so sieht man, dass diese sehr flach beginnen, was für uns in der Praxis bedeutet, dass niedrige Modulationsindexe schmalbandig sind. Umgekehrt bedeutet die Übertragung bei hohen Modulationsindexen in mehreren Trägern eine höhere Redundanz des Signals, was die ohnehin schon hohe Störsicherheit der Modulation weiter erhöht. Das wird im FM-Rundfunk mit der Wide-FM-Modulation oder kurz WFM ausgenutzt.

Um die Nullstellen der Besselfunktionen zu finden, kann man NSolve benutzen. Hier im Beispiel die Nullstelle von J0 zwischen 2 und 3 auf 20 Stellen genau.

NSolve[{BesselJ[0, x] == 0, 2 < x < 3}, x, WorkingPrecision -> 20]

Weitere Erklärungen dazu:

Lizenzlehrgang beim DARC

FM beim Elektroniktutor

Friedrich Wilhelm Bessel

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Gestartet wird es einfach mit seinem Namen an der Konsole

$ mathematica

Befehle und Funktionen werden Groß geschrieben. Die Argumente kommen in eckige Klammern. Gruppen von Argumenten nennt man Tupel. Diese kommen in geschweifte Klammern. Die verschiedenen Argumente werden mit Komma getrennt. Um also den Sinus von x im Bereich von 0 bis $2 \pi$ zu zeichnen gibt man folgendes ein:

Plot[Sin[x], {x, 0, 2 Pi}]

Die Eingabe wird mit Shift-Enter abgeschlossen und man erhält eine grafische Darstellung des Sinus.

Wenn keine grafische Ausgabe gewünscht oder möglich ist, kann Mathematica mit wolfram auch direkt an der Textkonsole genutzt werden.

$ wolfram
Mathematica 13.3.1 Kernel for Linux ARM (64-bit)
Copyright 1988-2023 Wolfram Research, Inc.

In[1]:= Integrate[Sin[x],x]

Out[1]= -Cos[x]

Ergebnisse, denen man fast schon ansieht, dass sie (zu) kompliziert dargestellt sind, kann man mit Simplify oft vereinfachen. Der Grund warum Mathematica das nicht gleich selbst macht ist, dass der Fokus darauf liegt ein formal korrektes Ergebnis zu liefern. Die Vereinfachung der Darstellung ist dagegen oft zum einen Geschmackssache, zum anderen erfordert sie auch eine andere Art der Optimierung.

Das Simplify kann man oft noch mit der Angabe von Assumptions unterstützen. Das ist nützlich, wenn sich die Vereinfachung unter bestimmten Annahmen ergibt, beispielsweise wenn eine Variable ganzzahlig ist.

Simplify[Sin [Pi x], Assumptions -> Element[x, Integers]]

Ergebnis nach Shift-Enter:

Out[5]= 0

Eine für den technischen Praktiker oft nützliche Funktion ist das unscheinbare N. Dieses liefert den numerischen Wert des Ergebnisses.

N[Sin[Pi / 7]]

Out[8]= 0.433884

Zur weiteren Einführung sollte ein Tutorial durchgearbeitet werden.

Der Beitrag Mathematica erschien zuerst auf DD3AH.

Um sich das Lernen etwas zu erleichtern, kann man sich ein paar Eigenheiten zunutze machen. Als Erstes kann man sich überlegen, welche Spalten und Zeilen banal oder trivial sind. Das sind wohl die mit 0, 1 und 10. „Mal 0“ ist immer 0. „Mal 1“ ist einfach die andere Zahl selbst. Und „Mal 10“ ist einfach eine Null hinten dran. So bleiben von den 11*11 = 121 Zahlen, die man auswendig lernen muss, nur noch 8*8 = 64. Aber es geht noch weiter. Die Multiplikation ist kommutativ („vertauschbar“):

$$5 * 6 = 6 * 5 $$

Da sind es schon nur noch 36. Es wird nicht genau die Hälfte, weil wir die auf der Diagonale alle lernen müssen. Aber das sind gleichzeitig die Quadratzahlen. Die hat man also damit auch gleich gelernt.

Als kleine Kontrolle, ob man die richtige Zahl gelernt hat, kann man sich anschauen, ob die Zahl gerade oder ungerade ist. Nur eine ungerade Zahl mal eine ungerade Zahl ergibt wieder eine ungerade Zahl. Alle anderen Kombinationen ergeben eine gerade Zahl.

Hier ein Beispiel mit einem Rechteck mit Kantenlängen 3 und 5, was eine Multiplikation von 3 und 5 repräsentiert. Gerade bedeutet, dass bei einer Füllung mit Zweier-Blöcken alles genau aufgeht. Die Zweierblöcke sind hier zur besseren Hervorhebung in rot, grün und blau eingefärbt. Nur wenn beide Kanten eine ungerade Länge haben, bleibt ein Feld übrig, was bedeutet, dass die Fläche eine ungerade Anzahl an Feldern hat und damit ungerade ist.

Nun kann man sich noch ein paar Eselsbrücken bauen. Das ist wohl besonders bei den größeren Ziffern wichtig. Die Vielfachen von 5 haben am Ende immer 0 oder 5. Und es ist die Hälfte von „Mal 10“. In der 6er-Reihe steckt das Dutzend. In der 7er-Reihe stecken die Wochen (2 Wochen sind 14 Tage). Die 8er-Reihe ist das Doppelte von „Mal 4“. Und schließlich bei der 9 wird immer die Zehnerstelle eins hoch und die Einerstelle eins heruntergezählt. Das wird klar, wenn man sich das in Kästchen mit 10er-Reihen aufmalt. Immer wenn 9 dazu kommen, kommt man in die nächste Zeile, und man erreicht eine Spalte weniger. Oder man merkt sich, dass es immer die andere Zahl weniger als „Mal 10“ ist:

$$ 6 * 9 = 6 * (10 − 1) = 6 * 10 −  6 $$

Hier eine grafische Darstellung in Google Drive. Die Diagonale mit den Quadratzahlen ist gelb. Die sonst zu lernenden Zahlen sind die grünen oder die blauen. Die ungeraden Zahlen sind kursiv dargestellt. Die zu multiplizierenden Ziffern stehen in der ersten Spalte und der ersten Zeile in rot.

Einige Produkte tauchen doppelt auf. Das sind genau die mit einer Primfaktorenzerlegung mit mehr als 2 Faktoren. Gemäß dem Assoziativgesetz der Multiplikation kann man diese unterschiedlich zusammenfassen. Und wenn diese alternativen Zusammenfassungen auch wieder aus Ziffern, also einstelligen Zahlen, bestehen, erhalten wir zwei Einträge des Produkts im kleinen Einmaleins, so wie beispielsweise:

$$12=2*2*3 = 2* \underbrace {(2*3)}_{6} = \underbrace {(2*2)}_4 *3  $$

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