Um sich das Lernen etwas zu erleichtern, kann man sich ein paar Eigenheiten zunutze machen. Als Erstes kann man sich überlegen, welche Spalten und Zeilen banal oder trivial sind. Das sind wohl die mit 0, 1 und 10. „Mal 0“ ist immer 0. „Mal 1“ ist einfach die andere Zahl selbst. Und „Mal 10“ ist einfach eine Null hinten dran. So bleiben von den 11*11 = 121 Zahlen, die man auswendig lernen muss, nur noch 8*8 = 64. Aber es geht noch weiter. Die Multiplikation ist kommutativ („vertauschbar“):

$$5 * 6 = 6 * 5 $$

Da sind es schon nur noch 36. Es wird nicht genau die Hälfte, weil wir die auf der Diagonale alle lernen müssen. Aber das sind gleichzeitig die Quadratzahlen. Die hat man also damit auch gleich gelernt.

Als kleine Kontrolle, ob man die richtige Zahl gelernt hat, kann man sich anschauen, ob die Zahl gerade oder ungerade ist. Nur eine ungerade Zahl mal eine ungerade Zahl ergibt wieder eine ungerade Zahl. Alle anderen Kombinationen ergeben eine gerade Zahl.

Hier ein Beispiel mit einem Rechteck mit Kantenlängen 3 und 5, was eine Multiplikation von 3 und 5 repräsentiert. Gerade bedeutet, dass bei einer Füllung mit Zweier-Blöcken alles genau aufgeht. Die Zweierblöcke sind hier zur besseren Hervorhebung in rot, grün und blau eingefärbt. Nur wenn beide Kanten eine ungerade Länge haben, bleibt ein Feld übrig, was bedeutet, dass die Fläche eine ungerade Anzahl an Feldern hat und damit ungerade ist.

Nun kann man sich noch ein paar Eselsbrücken bauen. Das ist wohl besonders bei den größeren Ziffern wichtig. Die Vielfachen von 5 haben am Ende immer 0 oder 5. Und es ist die Hälfte von „Mal 10“. In der 6er-Reihe steckt das Dutzend. In der 7er-Reihe stecken die Wochen (2 Wochen sind 14 Tage). Die 8er-Reihe ist das Doppelte von „Mal 4“. Und schließlich bei der 9 wird immer die Zehnerstelle eins hoch und die Einerstelle eins heruntergezählt. Das wird klar, wenn man sich das in Kästchen mit 10er-Reihen aufmalt. Immer wenn 9 dazu kommen, kommt man in die nächste Zeile, und man erreicht eine Spalte weniger. Oder man merkt sich, dass es immer die andere Zahl weniger als „Mal 10“ ist:

$$ 6 * 9 = 6 * (10 − 1) = 6 * 10 −  6 $$

Hier eine grafische Darstellung in Google Drive. Die Diagonale mit den Quadratzahlen ist gelb. Die sonst zu lernenden Zahlen sind die grünen oder die blauen. Die ungeraden Zahlen sind kursiv dargestellt. Die zu multiplizierenden Ziffern stehen in der ersten Spalte und der ersten Zeile in rot.

Einige Produkte tauchen doppelt auf. Das sind genau die mit einer Primfaktorenzerlegung mit mehr als 2 Faktoren. Gemäß dem Assoziativgesetz der Multiplikation kann man diese unterschiedlich zusammenfassen. Und wenn diese alternativen Zusammenfassungen auch wieder aus Ziffern, also einstelligen Zahlen, bestehen, erhalten wir zwei Einträge des Produkts im kleinen Einmaleins, so wie beispielsweise:

$$12=2*2*3 = 2* \underbrace {(2*3)}_{6} = \underbrace {(2*2)}_4 *3  $$

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Falls man sich nicht merken kann, was von der Ortskurve wo im Smithdiagramm steht, kann es nützlich sein, sich davon eine Skizze zu zeichnen. Und parallel dazu lässt man sich dabei durch den Kopf gehen, in welchen Zahlenbereichen der Formeln man sich gerade befindet.

Hier sind einige weitere Beispiele für grafische Cheatsheets:

Der Einheitskreis steht im Rechenkurs.

Winkel und Steigung

Widerstand und (Blind-) Leistung

Schwingkreisformel

Die Formelsammlung ist quasi ein klassischer Spickzettel.

Auch eine Tabelle wie die Frequenzbereiche gehört dazu.

Hier noch eine Website mit vielen fertigen Spickzetteln zu allen möglichen Themen: Cheatography.

Es ist nützlich, sich solche Gedächtnisstützen gut erreichbar bereitzulegen. Vielleicht ist an einer Pinwand noch Platz dafür. Wichtig ist ein Gespür dafür zu bekommen, welche dieser Hilfsmittel wirklich für einen nützlich sind. Wenn die Sammlung der Spickzettel selbst unübersichtlich wird, sind sie nicht mehr hilfreich.

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Immer der entlang eines Pfeiles gemessene positive Wert des Winkels wird in die angegebene Funktion eingesetzt, um die Steigung der Geraden zu erhalten, auf die der Pfeil zeigt.

Wie schon gesagt sind Tangens und Kotangens genau die Kehrwerte zueinander. Daher bieten die meisten Taschenrechner auch nur den Tangens an. Den Kotangens erhält man dann mit der 1/x-Funktion.

Umgekehrt erhält man in vielen Programmiersprachen mit einer speziellen Variante der Umkehrfunktion Arcus Tangens atan aus den Koordinaten des Steigungsdreiecks den zugehörigen Winkel. Die Funktion atan2 nimmt die x- und die y-Koordinate des Steigungsdreiecks und liefert den Winkel a gegenüber der positiven x-Achse.

Warum wird hier mit dem Steigungsdreieck gearbeitet und nicht einfach mit der Steigung? Eine Steigung setzt mathematisch eine Funktion voraus. Das bedeutet, zu jedem x-Wert darf es nur einen y-Wert geben. Damit ließe sich keine Senkrechte beschreiben. In der Funktion atan2 setzt man dafür einfach den x-Wert auf 0 und erhält als Lösung 90°. Im Regelfall wird man x auf 1 setzen und für y die Steigung eintragen.

Dazu lassen sich auf diese Weise alle Winkel in allen 4 Quadranten des Koordinatensystems beschreiben. Anders gesagt: Wir beschreiben keine Gerade, sondern einen gerichteten Pfeil respektive einen Vektor.

Hier ein einfaches Beispiel in Python mit der Winkelhalbierenden und damit x=1 und y=1

$ python
Python 3.9.2 (default, Feb 28 2021, 17:03:44) 
[GCC 10.2.1 20210110] on linux
Type „help“, „copyright“, „credits“ or „license“ for more information.
>>> import math
>>> math.atan2(1,1)*180/math.pi
45.0

Umgekehrt gibt es in einigen Programmiersprachen eine spezielle Funktion sincos, die zu einem gegebenen Winkel die Koordinaten des Steigungsdreiecks liefert, was eben genau die Funktionswerte von Sinus und Kosinus sind. Hier ist zu beachten, dass sincos ein Wertepaar zurückliefert. Das bedeutet je nach Programmiersprache ist das eine Datenstruktur oder ein Aufruf by reference.

Sincos entfaltet seine Nützlichkeit nur dann, wenn beide Werte gebraucht und diese auf der Ebene des Prozessors mit einem Befehl erzeugt werden. Da das nicht immer der Fall ist, bieten nicht alle Programmiersprachen und Bibliotheken diese Funktion an. Aber sie ist natürlich leicht durch getrennte Aufrufe von sin und cos zu ersetzen.

$ python
Python 3.9.2 (default, Feb 28 2021, 17:03:44) 
[GCC 10.2.1 20210110] on linux
Type „help“, "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> import math
>>> math.sin(45/180*math.pi)
0.7071067811865475
>>> math.cos(45/180*math.pi)
0.7071067811865476

Beachte, dass sin und cos sogenannte „normierte“ Werte zurückliefern, also solche, die in den Einheitskreis mit Radius 1 passen, so wie im Rechenkurs erklärt. Das bedeutet hier: Die Hypotenuse des Steigungsdreiecks hat die Länge 1. Andersherum gesagt: An einer Geraden ist die Größe des Steigungsdreiecks unerheblich, sodass wir bei Bedarf atan2 mit einem beliebig großen Steigungsdreieck nutzen können.

Hier noch ein Beispiel für sincos in C direkt mit einer x86-FPU:

PasteBin

Beachte, dass die FPU ihre Geschwindigkeit nur dann voll ausspielen kann, wenn alle Berechnungen einer Formel „am Stück“ innerhalb der FPU erledigt werden. Das Hin- und Herkopieren einzelner Teilergebnisse zwischen CPU und FPU ist wenig sinnvoll. In dem Zusammenhang ist gut zu wissen, dass auch die GPU der Grafikkarte für Berechnungen genutzt werden kann. Dafür gibt es API wie CUDA.

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Schreibt man das Ohm’sche Gesetz als Produkt, also, sodass sich der Spannungsabfall als Produkt von fließendem Strom und Widerstand ergibt, so kann man die Formel einfach mit U und I multiplizieren.  So erhält man mit dem Wissen aus dem Leistungsgesetz P=U I die Formeln für die Kombination der beiden:

$$ \begin{align}
U &= R I & \vert * U \newline
\underbrace{U*U} &= R \underbrace{I U} & \newline
U^2 \; \; &= R \; \; P \newline
\newline \newline
U &= R I & \vert * I \newline
\underbrace{U I} &= R \underbrace {I * I} & \newline
P \; \; &= R \; \;  I^2 &
\end{align} $$

Hier das Ganze noch grafisch dargestellt, mit den Faktoren als Kanten von Rechtecken und den Produkten als Flächeninhalte:

Diese Art, mit Geometrie zu rechnen, haben schon die alten Griechen genutzt, lange vor der Erfindung der Analysis. Man kann sich sehr viele Zusammenhänge visuell verdeutlichen, die in Formeln aufgeschrieben doch eher unanschaulich sind.

Wichtig ist dabei, sich nicht auf die Präzision der grafischen Darstellung zu verlassen, sondern auf das, was dargestellt werden soll. So funktioniert diese Art, Mathematik zu betreiben, auch mit einfachen Skizzen.

Wichtig ist auch, sich nicht an der „Unsymmetrie“ zu stören; dass also etwa das U mal außen und mal innen steht. Dieser Bruch der Symmetrie beschreibt eben genau die physikalische Realität.

Phasenwinkel

Manche fragen sich, ob die Phasenverschiebung $\varphi$ zwischen Spannung und Strom auch irgendwie geometrisch dargestellt werden kann. Man kennt ihn als Leistungsfaktor $\cos(\varphi)$ und weiß, dass er 0° betragen sollte für eine reine Wirkleistung. Aber kann man ihn auch als Winkel im geometrischen Sinne veranschaulichen?

Tatsächlich geht das sogar recht einfach: $\varphi$ ist in der hier beschriebenen Darstellung der Winkel, um den die Spannung U gegenüber der Senkrechten gekippt ist. Oben in der Grafik ist das Leistungsgesetz als Rechteck gezeichnet. Damit ist $\varphi = 0°$ und $\cos(\varphi) = 1$, weil die Spannung exakt vertikal steht.

Der reelle Anteil der Leistung ist also die Fläche des Parallelogramms. Die Fläche eines Parallelogramms ist seine Grundlinie mal seine Höhe. Die Höhe ist hier $ U \cos(\varphi) $. Das macht man sich anschaulich klar, indem man sich das in der Grafik von der Höhenlinie abgetrennte Dreieck nach rechts verschoben denkt.

Für  $\varphi = 90°$ wird $\cos(\varphi) = 0$ und das Parallelogramm ist zusammengeklappt und hat keine Fläche mehr. Es liegt also keine reelle Leistung mehr vor.

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Es ist üblich jeweils Dekaden, also Verzehnfachungen, von Frequenzen mit den „Magischen Grenzen“ jeweils bei den Dekaden der Wellenlängen zu bezeichnen. Durch den Zusammenhang:

Lichtgeschwindigkeit c = 3*10⁸ m/s

Wellenlänge λ

Frequenz f

 

c = λ f

… ergibt sich dann jeweils die 3 als Grenze für die Frequenz. Die Kurzwelle geht also nach dieser Nomenklatur von 3MHz bis 30MHz bzw. von 100 m bis 10 m.
Bis zur Wärmestrahlung ist die Angabe von Frequenzen in Hertz üblich. Bei kürzeren Wellen nutzt man eher die Teilchenenergie in Elektronenvolt eV. Hier beginnt dann auch die „Welt“ der sogenannten Ionisierenden Strahlung. Das bedeutet, diese Strahlung enthält pro Photon genug Energie, um die atomare Bindung zwischen Molekülen aufzubrechen und so aus neutralen Molekülen Ionen zu erzeugen. Auf der Skala der Frequenzen ist es z. B. ab UV-Strahlung möglich einen Sonnenbrand zu bekommen, wenn man sich der Strahlung zu lange aussetzt. Bei niedrigeren Frequenzen ist das nicht möglich. Das bedeutet natürlich nicht, dass langwelligere Strahlung bedingungslos harmlos wäre. Es bleibt eine thermische Wirkung, die dosiert eingesetzt auch medizinisch nützlich sein kann.

Im deutschen Sprachbereich benennt man die Wellen mit den hier so bezeichneten „W-Namen“. Die Buchstaben bedeuten Lang, Mittel, Kurz und Ultrakurz.

Im englischen Sprachbereich bezeichnet man die Frequenzen mit den „F-Namen“. Der Kurzwellenbereich wird mit HF und die Mittelwelle mit Medium Frequencies bezeichnet. Bei HF muss man also auf den Kontext achten, ob HF nur zur Unterscheidung von NF und DC gemeint ist, oder so wie hier genau der Kurzwellenbereich. Die niedrigeren Frequenzen heißen hier Low Frequencies. Die Buchstaben bedeuten Very, Ultra, Super, Extreme und Tremendous. Wer es schwierig findet, diese englischen „Superlative“ logisch in eine numerische Reihenfolge zu bringen: Du bist nicht allein.

Die Namen in den Beispielen sind übrigens aus dem physikalischen Effekt entlehnt, der die Strahlung entstehen lässt. Die Übergänge zwischen den Bereichen sind daher fließend. Wärme erzeugt auch Radiowellen niedriger Frequenz, die wir dann im Radio Rauschen nennen. Umgekehrt senden sehr heiße Gegenstände auch sichtbares Licht aus, was wir Glühen nennen. Infrarot und Ultraviolett sind so benannt, weil sie dem sichtbaren Licht benachbart sind und ihm in vielerlei Hinsicht ähneln. Röntgenstrahlen sind das, was aus einer Röntgenröhre kommt und wir zum Durchleuchten von Materie nutzen, und Gammastrahlung ist das, was durch kernphysikalische Effekte entsteht. Die Namen können also nicht direkt zur Definition von Frequenzbereichen genutzt werden und dienen hier nur zur groben Einordnung.

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Induktivitäten und Kapazitäten haben frequenzabhängige Blindwiderstände. Diese werden als imaginäre Zahlen behandelt. Induktivitäten haben dabei die positiven Werte, Kapazitäten die negativen. In Resonanz addieren sich diese zu Null. Die Impedanz einer Antenne enthält einen Realanteil. Dieser repräsentiert den Lastwiderstand, mit dem die Antenne die elektromagnetischen Wellen erzeugt, mit denen wir dann letztendlich funken. Für optimale Anpassung soll dieser Lastwiderstand dem Quellwiderstand des Senders entsprechen.

Die Impedanz Z ist die vektorielle Summe von R, X_L und X_C. Grafisch hängt man die drei dazu hintereinander. Die Veränderung mit der Frequenz f ist eine sogenannte parametrische Darstellung mit f als Parameter und wird Ortskurve genannt.

Als Diagramm in der gewohnten Darstellung als Ortskurve sehen wir das nun hier. In der Praxis stellt man jedoch fest, dass wir von der möglichen Fläche in dieser Darstellung nur wenig benötigen: Es kommen keine negativen reellen Widerstände vor, also fällt die ganze linke Seite weg. Und sehr große Werte interessieren uns auch wenig. Unendlich groß hat hier praktisch die gleiche Bedeutung wie Null, denn es ist sozusagen gleich schlimm, ob wir die Quelle an einer offenen Last betreiben oder an einem Kurzschluss. Und dann ist es bei sehr großen Werten auch egal, ob diese reell oder imaginär sind. Schließlich wäre es noch gut, wenn in dem Diagramm die gewünschte Impedanz gleich auf den ersten Blick ersichtlich wäre.

Der amerikanische HF-Ingenieur Phillip Hagar Smith hatte 1937 die Idee, das alles so in ein Diagramm einzuzeichnen, dass alle diese Aspekte auf einen Blick ersichtlich sind. Herausgekommen ist ein kreisrundes Diagramm. Genau in der Mitte ist die gewünschte reelle Impedanz R₀. Nach links die zu niedrigen Werte, nach rechts die zu hohen, oben die induktiven Anteile X_L und unten die kapazitiven X_C. Ganz rechts finden wir für alle Anteile unendlich ∞ und ganz links den Nullpunkt.

Der Vorteil ist nun, dass egal welche Werte die Antenne annimmt, man sie immer in das gleiche Diagramm einzeichnen kann. Es gibt keine „zu großen“ Werte. So lassen sich verschiedene Messungen gut vergleichen.

Eine Schwäche all dieser Impedanz-Diagramme ist, dass man die Frequenz nicht gut ablesen kann. Man wird also immer genau in die Beschreibung des Diagramms schauen müssen, um zu erkennen, welcher Frequenzbereich dargestellt ist. Für gewöhnlich wird man Anfang und Ende der Ortskurve mit der Frequenz beschriften und dazu vielleicht noch ein paar markante Punkte, eben z. B. den imaginären Nulldurchgang, also die Resonanz.

Die Ortskurve ist also wie oben schon erwähnt ein Beispiel für eine parametrische Darstellung mit der Frequenz als Parameter.

Hier sieht man jetzt ein vereinfachtes, erfundenes Smith-Diagramm. Man sieht in Blau die Ortskurve einer Antenne für das 80-m-Band. Das SWR ist bei jeder Frequenz jeweils der Abstand von der Mitte. Man wird also einen recht flachen Verlauf des SWR messen. Im Smith-Diagramm sieht man jedoch sehr deutlich, dass sich im Komplexen doch einiges tut bei dieser Antenne. Das Smith-Diagramm hilft also in der Praxis des Amateurfunks Sendeanlagen zu beschreiben und zu optimieren.

Eine perfekte Antenne oder ein perfekter Schwingkreis mit einem reellen Serienwiderstand wird eine Ortskurve haben, die von den niedrigen Frequenzen rechts bei Unendlich beginnt und dann durch den unteren Bereich verläuft, weil der hohe imaginäre Widerstand des Kondensators überwiegt. Gegen die Resonanzfrequenz steigt die Kurve an und schneidet die reelle Achse genau in der Mitte. Weiter verläuft sie dann in einem Kreisbogen durch die obere Hälfte, weil nun der hohe imaginäre Widerstand der Induktivität überwiegt. Der Kreis schließt sich dann wieder rechts bei Unendlich gegen sehr hohe Frequenzen.

In der Praxis erhält man bei einem zu großen Frequenzumfang einen wilden Knoten aus Kreisen, weil die meisten realen Aufbauten eben nicht nur eine Resonanzfrequenz haben. Es empfiehlt sich also, nur den Frequenzbereich darzustellen, der einen wirklich interessiert, oder ggf. stückweise vorzugehen.

Wie man im Artikel auf Wikipedia schön sieht, formen die reellen Werte Kreise, die mit dem rechten Rand bei Unendlich zusammenliegen. Die imaginären Werte sind Teilkreise, die wie Grasbüschel am rechten Rand zusammenlaufen. Mathematisch interessant ist dabei noch, dass damit die reelle und die imaginäre Achse lokal immer noch überall senkrecht aufeinanderstehen. Weil das Smith-Diagramm eben nicht nur anschaulich und „passend“ entworfen wurde, sondern auch mathematisch genau konstruiert wurde, lassen sich auch viele Werte und die dafür nötigen Korrekturen aus dem Diagramm ablesen.

Wer sich mehr für den mathematischen Hintergrund interessiert: Das Smith-Diagramm ist eine spezielle Form der Möbius-Transformation. Diese begegnet uns auch schon beim “normalen” SWR. Man kann nun noch viel über dieses Diagramm sagen. Ganze Bücher wurden darüber geschrieben. Zur Vertiefung des Themas empfehle ich diese Bücher. Ich verlinke hier kein konkretes, aber hier sind einschlägige Verlage.

• Praktisch ausprobieren kann man das auf RF Mentor.
• Eine Anpassung direkt als Schaltplan bekommt man mit der Applikation PASAN, die unter Linux in Wine läuft.
• Noch ein anderes Tool ist SimNEC.

Zum Abschluss noch ein Beispiel, wie man mit dem Smith-Diagramm arbeitet, um die Anpassung mit einem LC-Tiefpass zu erreichen:

1. Ermittle mit einer Messung mit dem VNA oder einer Simulation mit NEC die komplexe Impedanz der Antenne am Speisepunkt.
2. Trage diesen Wert in das Smith-Diagramm ein.
3. Sind wir niedriger als die gewünschte Impedanz von 50 Ω?
   1. Ermittle die Serien-Induktivität, die die Impedanz auf den Kreis bringt, der dem Leitwert von 50 Ω entspricht (linker lila Hilfskreis in PASAN).
   2. Ermittle die Parallel-Kapazität, die die Impedanz auf reelle 50 Ω bringt.
4. Sind wir höher als die gewünschte Impedanz von 50 Ω?
   1. Ermittle die Parallel-Kapazität, die die Impedanz auf den Kreis mit dem Widerstand von 50 Ω bringt (rechter Hilfskreis).
   2. Ermittle die Serien-Induktivität, die die Impedanz auf reelle 50 Ω bringt.

Der Unterschied ist also effektiv nur, ob die Kapazität auf der Seite der Antenne oder der des Speisekabels ist. Das Smith-Diagramm macht uns dabei anschaulich deutlich, was in den beiden Fällen mit der Impedanz passiert. Das Programm PASAN ist dafür gut geeignet.

Interessant ist dabei noch, dass die Anpassung selbst auch genauso gut mit einem Hochpass funktioniert. Ich kann also ebenso gut eine Induktivität parallel schalten und eine Kapazität in Serie. In der Praxis ist aber meist die Wirkung des Hochpass gewünscht als Beitrag zur Unterdrückung von Oberwellen.

Grenzen

Zur Anpassung werden auch gerne Transformatoren nach Art eines Balun eingesetzt. Auch diese sorgen dafür, dass die Impedanzen im gesamten System zusammenpassen. Das Smith-Diagramm ist aber nicht gut darin, diese Anpassung darzustellen. Der Grund dafür ist, dass die Zielimpedanz im Diagramm die Mitte ist. Mit einem Trafo ändert sich diese Zielimpedanz aber. So toll das Smith-Diagramm ist, wenn man es erst mal verstanden hat: “Alles” kann man auch damit nicht darstellen.

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Um das genau auszurechnen, kann man die Energie betrachten, die ein Mal als magnetisches Feld in der Spule und ein Mal als elektrisches Feld im Kondensator gespeichert ist. Betrachtet man die beiden als sogenanntes abgeschlossenes System, findet also kein Energieaustausch nach außen statt, so kann man als Lösungsansatz den Energieerhaltungssatz benutzen. Die Summe der Energie in der Spule und der im Kondensator muss immer konstant sein.

Die Rechnung ist länglich und setzt Differenzialgleichungen voraus. Sie ist z. B. in Wikipedia genauer beschrieben. Wir springen hier gleich zur Lösung: Die imaginären Widerstände von Spule und Kondensator müssen für Resonanz in Summe Null ergeben:

$$ X_L + X_C= 0 \tag{1}$$

Nun gilt:

$$\begin{align}
X_L & = i ω L \tag{2a} \\ \\
X_C & = 1/(i ω C) \tag{2b}
\end{align}$$

Das beruht auf den grundlegenden Eigenschaften der Spule, dass die Stromänderung in der Spule der angelegten Spannung proportional ist und die Spannungsänderung am Kondensator dem Strom. Um das auszurechnen, braucht man komplexe Wechselstromrechnung. Wir nehmen das hier einfach als gegeben hin.

Um das i ausklammern zu können, erweitern wir X_C mit i. Dieser Teil wird damit negativ, denn das i*i im Nenner ist gleich −1. Nun können wir durch i teilen oder anders gesagt: Wir betrachten hier nur die rein imaginären Anteile und können das i daher konsequent überall weglassen. Das setzen wir in die Gleichung (1) ein und wenden einige äquivalente Umformungen an. Dabei wird das $\omega$ zu $2 \pi f$ aufgelöst.

$$\begin{align}
X_L & + X_C && = 0                && \big| \ (2)\ einsetzen  \\  \\
i ω L & + 1/(i ω C) && = 0       && \big| \  X_c\ mit\ i\  erweitern \\ \\
i ω L & + i/(i i ω C) && = 0      && \big| \   / i  \\ \\
ω L & − 1/(ω C) && = 0          && \big| \  + 1/(ω C)   \\ \\
ω L &  && =  1/(ω C)                  && \big| \    * \omega / L \\ \\
& \omega^2 && = \frac {1}{LC}    && \big| \  \sqrt{…}    \\  \\
& \omega  && = \sqrt { \frac {1}{LC}}    && \big|  \  \  / 2 \pi \\  \\
& f && = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC} }
\end{align}$$

Das ist unsere bekannte Schwingkreisformel, die 1853 von William Thomson formuliert wurde. Die Serienschaltung von L und C ist also bei Resonanzfrequenz rein reell, da der Imaginäranteil von L und C sich genau aufhebt.

Grafisch stellt man so dar, dass der imaginäre Anteil auf der y-Achse dargestellt wird und die x-Achse repräsentiert den reellen Anteil. Hier in der Grafik nutzen wir die reelle Achse nur um Platz zu sparen bzw. um den imaginären Anteil übersichtlicher darzustellen. Mathematisch betrachten wir hier den reellen Anteil nicht.

In der Grafik links sind die imaginären Widerstände unabhängig voneinander eingezeichnet. Wenn die Bauteile in Serie geschaltet sind, hängt man auch die Pfeile ihrer imaginären Widerstände einfach hintereinander, so wie im Bild rechts. Wenn die Spitze des blauen Pfeils vom Kondensator dabei auf der Nulllinie landet, haben wir Resonanz. Ansonsten überwiegt entweder der induktive oder kapazitive Anteil.

Trägt man den Verlauf der resultierenden Pfeilspitze über der Frequenz in dieses Diagramm ein, so erhält man die sogenannte Ortskurve. Das repräsentiert die Veränderung des komplexen Widerstands mit der Frequenz. Das hilft z.B. beim Bewerten und Optimieren von Antennen. Als Messgerät benutzt man dafür einen sogenannten VNA. Solch eine Ortskurve wird auch gern übersichtlich in einem Smith-Diagramm eingezeichnet.

Parallelschwingkreis

Was ist nun anders, wenn Spule und Kondensator parallel geschaltet sind? In Serie addieren sich die Widerstände, parallel addieren sich die Kehrwerte der Widerstände, also die Leitwerte. Die Kehrwerte zweier betragsgleicher Werte sind ebenfalls wieder betragsgleich. Auch die Differenz ist dann also wieder Null. Und ein Leitwert von null bedeutet, dass der Widerstand unendlich ist.

Wie wohl schon bekannt und erwartet, ergibt sich also, dass ein Parallelschwingkreis sich bei der Resonanzfrequenz wie ein Isolator verhält. Man nennt ihn daher auch Sperrkreis. Das wird z. B. in Mehrband-Antennen in den sogenannten Traps benutzt.

Hier noch ein Schaubild für die typischen Werte für L und C in Abhängigkeit von der Frequenz.

Der Source für Gnuplot liegt auf Pastbin.

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