Sie kennt wohl fast jeder, der in der Schule ein wenig aufgepasst hat. Aber wo sind die binomischen Gleichungen in der Praxis nützlich? Wenn es um Zahlenwerte geht, natürlich genau dann, wenn mal kein Taschenrechner zur Hand ist. Und auch dann nur, wenn man exakte Zahlenwerte benötigt.
Die Herleitung der ersten binomischen Gleichung beruht übrigens, genau wie die sogenannte Mitternachtsformel, auf der quadratischen Ergänzung.
Möchte man etwa das Quadrat von 54 ausrechnen, so kann man leicht abschätzen, dass es gut 2500 sein muss, weil man die 50 zum Quadrat leicht im Kopf ausrechnen kann. Will man es aber genau ausrechnen, kann man diese grobe Schätzung mit der ersten binomischen Formel ergänzen. Wir teilen die 54 auf in die geschätzten 50 und die verbleibenden 4 und erhalten so auf einem Stück Papier oder sogar im Kopf das exakte Ergebnis.
$$ 54^2 = (50+4)^2 = 2500+2*4*50+16 = 2916 $$
$$ \begin{align}
&&2500& \\
&&+400& \\
&&+16& \\
&&\overline{2916}& \\
\end{align} $$
Genauso geht das auch mit der zweiten binomischen Gleichung mit einer Zahl, die etwas kleiner ist als eine bequeme runde Zahl:
$$ 37^2 = (40-3)^2 = 1600-2*3*40+9 = 1369 $$
Meist ist aber im Kopf addieren leichter, auch wenn die Zahlen dann größer sind.
Die dritte binomische Formel ist nützlich beim Multiplizieren von ähnlich großen Zahlen, besonders wenn der Abstand gerade ist, sodass sie eine ganzzahlige Mitte haben.
$$38*42 = (40-2)(40+2) = 1600-4 = 1596$$
Dieser letzte Zusammenhang ist übrigens auch der Grund, warum in der Kryptografie, die auf der schwierigen Faktorisierbarkeit von multiplizierten Primzahlen beruht, diese Primzahlen nicht zu ähnlich sein dürfen. Denn mit diesem Rechentrick ist die Faktorisierbarkeit dann eben ganz einfach und die Verschlüsselung geknackt.