Heute mal ein Meta-Artikel. Hier steht nichts Neues. Diese Übersicht dient dazu, die Schritte aufzuzählen, wie man dazu kommt, die Dezibelpegel zu verstehen. Wie das hier in diesem Blog so üblich ist, versuchen wir, jeden abzuholen. Wir fangen also wirklich ganz klein an. Damit will ich niemanden für dumm verkaufen. Das soll einfach nur dafür sorgen, dass jeder seinen Einstieg findet. Also legen wir los:
Schritt 1
Verstehe das Zählen und die Grundrechenarten und kenne auch die Begriffe dazu. Das wird im Rechenkurs behandelt.
- Wir zählen in einem stellenbasierten System zur Basis 10.
- Die Rechenoperation Multiplikation verknüpft ihre Argumente zu einem Produkt.
Schritt 2
Die Multiplikationen gleicher Argumente kann man zu Potenzen zusammenfassen. Auch das steht im Rechenkurs. Die Anzahl der Multiplikationen nennen wir in der Potenz Exponent und schreiben diesen als Hochzahl.
$$ \underbrace{3 * 3 * 3 * 3}_{{ \color{green} 4} \ Mal} = 3^{ \color{green} 4} $$
Besonders interessant ist für uns die Basis 10, weil wir damit die wissenschaftliche Schreibweise von Zahlen erhalten.
$$ 47.000 = 47 * 10 * 10 * 10 = 47 * 10^3 $$
Schritt 3
Zu einer Rechenoperation gibt es eine Umkehrung. Um von einer Potenz den Exponenten zu erhalten, nutzen wir den Logarithmus als Umkehrung. Die Basis des Logarithmus ist dabei die Basis der Potenz.
$$ \log_{10}{10^3} = \lg{10^3} = 3 $$
Der Logarithmus zur Basis 10 (“dekadischer Logarithmus” oder auch kurz lg) berechnet mir, wie viele Stellen eine Zahl hat; genauer: wie hoch der Exponent in der wissenschaftlichen Schreibweise ist. Oder anschaulich: wie weit man das Komma verschieben muss.
Grafisch sieht das dann so aus, dass der Graph des Logarithmus für größere Zahlen immer flacher wird. Das können wir uns auf dem Raspi mit Mathematica anzeigen lassen.
Schritt 4
Bei einem Leistungsverstärker ergibt das Verhältnis von Ausgangsleistung zu Eingangsleistung das Leistungsverhältnis. Genauso kann man auch andere Leistungen zueinander in Beziehung setzen, um ein Leistungsverhältnis zu erhalten.
Beispiel: Eine PA mit 2000W Ausgangsleistung benötigt 2W Ansteuerleistung. Sie hat also eine Leistungsverstärkung von 2000 W / 2 W = 1000.
Schritt 5
Um auch sehr große Leistungsverhältnisse noch mit gut verstehbaren Zahlen beschreiben zu können, betrachten wir vom Leistungsverhältnis den Exponenten zur Basis 10, also den dekadischen Logarithmus.
$$ \lg (2000 W / \; 2 W) = \lg (1000) = \lg (10^3) = 3 $$
Die Umformung zur Potenz steht hier nur zum Verständnis der Rechenschritte. In der Praxis wird man hier krumme Werte haben, bei denen das gar nicht so einfach geht. Genau das ist es, was der Logarithmus erledigt.
Das nennen wir Bel. Um in einem möglichst großen Anwendungsbereich mit einfachen ganzen Zahlen arbeiten zu können, arbeiten wir grundsätzlich in Dezi-Bel dB. Das Dezi bedeutet Zehntel. Man muss also mit 10 multiplizieren, um die Bel in Dezibel auszudrücken.
$$ 2000 \; W / \; 2 \; W = 3 \; Bel = 30 \; dB $$
Die 10 vom Dezi hat nichts mit der 10 in der Basis des dekadischen Logarithmus zu tun. Einerseits sind sie unabhängig voneinander, aber es ist natürlich kein Zufall, dass es beide Male die 10 ist. Da wir im Zehnersystem rechnen, taucht die 10 an vielen verschiedenen Stellen auf.
Schritt 6
Um auch die Leistung selbst in Dezibel ausdrücken zu können, führen wir den Dezibelpegel ein. Dazu wählen wir eine bestimmte Leistung als Referenz und drücken alle Leistungen als Verstärkung gegenüber der Referenz aus. Weit verbreitet ist 1mW als Referenz. Das m vom mW nehmen wir als Kennbuchstabe für den Pegel und schreiben das als dBm.
$$ 1000 \; W / 1 \; mW = 10^6 = 60 \; dB \ \Leftrightarrow \ 1000 \; W = 60 \; dBm $$
$$ 1 \; W / 1 \; mW = 10^3 = 30 \; dB \ \Leftrightarrow \ 1 \; W = 30 \; dBm $$
Schritt 7
Nicht nur, dass die Zahlen übersichtlicher werden. Auch das Rechnen wird einfacher: Aus dem Multiplizieren und Dividieren von Leistungen wird das Addieren und Subtrahieren von Dezibel:
$$ \underbrace{1 W}_{Eingangsleistung} * \underbrace{1000}_{Verstärkung} = \underbrace{1000 W}_{Ausgangsleistung}$$
$$ \underbrace{30 \; dBm}_{Eingangsleistung} + \underbrace{30 \; dB}_{Verstärkung} = \underbrace{60 \; dBm}_{Ausgangsleistung}$$
Einfach gesagt und zusammengefasst rechnen wir mit den Dezibel also mit den Exponenten der wissenschaftlichen Schreibweise der Zahlen. Die Dezibel enthalten dabei aber auch die “krummen” Zahlenwerte vor dem Zehnerexponenten. Wenn man alles richtig macht, rechnet man in Dezibel also ebenso exakt wie mit den Leistungs- und Verstärkungswerten und kann bei Bedarf beliebig zwischen den Schreibweisen wechseln.
$$ 12345 \; W = 70{,}9149 \; dBm $$
Für weitere Details kann man die Artikel hier rechts bei Weiterlesen durcharbeiten.