Sind gerade und ungerade besondere Eigenschaften einer Zahl? Man kann das so oder so sehen. Schauen wir uns dazu an, was die Begriffe eigentlich besagen. Allgemein betrachtet geht es nur darum, ob die Zahl durch 2 teilbar ist oder nicht. Die entsprechende Eigenschaft gibt es also auch für jede andere ganze Zahl. Nur haben die Teilbarkeiten durch 3, 5, 7 und so weiter keine besonderen Namen. Teilbarkeit bedeutet, dass die Zahl sich ohne Rest auf so viele “Stücke” aufteilen lässt. 7 ist nicht durch 3 teilbar, weil sich ein Rest von 1 ergibt. 12 ist durch 2 teilbar, also gerade. Aber die 12 ist auch durch 3 teilbar. Teilbarkeiten schließen sich also gegenseitig nicht aus. Umgekehrt definieren diese Teilbarkeiten eben auch genau die Zerlegung in Primfaktoren. Jede ganze Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen. Dabei muss beachtet werden, dass ein Primfaktor mehrfach auftreten kann. Beispielsweise ist in der Zerlegung der 12 die 2 zwei Mal enthalten: 12 = 2 * 2 * 3.
Nun gibt es doch einen Sonderfall: die Null. Die Null lässt sich durch alle Zahlen teilen und weil dabei immer ohne Rest wieder Null herauskommt, geht das beliebig oft. Sie ist also gerade, und drittelbar und fünftelbar usw. Wir haben also die etwas paradoxe Eigenschaft, dass die Null durch alle anderen Zahlen teilbar ist, aber keine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren hat. Anschaulich gesagt liegt das daran, dass die Null das Nichts repräsentiert. Und wenn nichts da ist, kann dieses Nichts auf beliebig viele Anteile aufgeteilt werden; und das bei Bedarf auch beliebig oft.
Betrachten wir die Teilbarkeit auf dem Zahlenstrahl, so erhalten wir für jeden Teiler quasi ein Gitter oder einen Kamm. Die Null ist dabei sozusagen der Anker, den alle Teiler gemeinsam haben.
Wichtig ist dabei zu verstehen, dass die Teilbarkeit auf den Ganzen Zahlen definiert ist. In der Menge der gebrochenen Zahlen ist jede Zahl durch jede andere Zahl teilbar. Wenn man beispielsweise 6 Äpfel auf 4 Leute aufteilen soll, dann geht das mit ganzen Äpfeln nicht. Wenn ich aber zulasse, dass die Äpfel halbiert werden, erhalte ich 12 halbe Äpfel, sodass alle 4 jeweils 3 halbe Äpfel erhalten. Wir haben die 6 also mit 2 erweitert, um so eine Teilbarkeit durch 4 zu erzeugen. Und damit man nicht so viele angeschnittene Äpfel hat, wird man das Ergebnis wieder umrechnen, sodass jeder anderthalb Äpfel erhält, also einen ganzen und einen halben. Durch Erweitern kann man also jede beliebige Teilbarkeit erreichen.
Gerade und ungerade sind also insofern etwas Besonderes, als sie die Teilbarkeit durch den kleinsten Primfaktor repräsentieren. Und die ganzen Zahlen sind immer abwechselnd gerade und ungerade. Sie wechseln sich also auf der Zahlengeraden ab. Aber insgesamt betrachtet ist es auch nur eine Teilbarkeit von unendlich vielen. Und die Teilbarkeit selbst ist auch nur etwas Besonderes, solange man bei den Ganzen Zahlen bleibt. In den Rationalen Zahlen ist alles teilbar, die Teilbarkeit also gar nichts Besonderes.