Eine Sinusschwingung ist die reinste aller Wellen. Wir nutzen das in der Funktechnik um in der Frequenz benachbarte Sinusschwinungen mit Informationen zu belegen und so zu übertragen. Wir sagen so eine Übertragung belegt eine Bandbreite benachbarter Frequenzen. Damit das funktioniert, müssen die elektrischen Signale linear verarbeitet werden. Tut man das nicht, entstehen Oberwellen. Das sind Vielfache der Grundfrequenz der gewünschten Schwingungen. Damit diese unerwünschten Oberwellen nicht abgestrahlt werden, müssen Sie mit Tiefpassfiltern wieder unterdrückt werden.

Die Fourier-Transformation gibt uns die Möglichkeit zu berechnen wie Signalform und Oberwellen zusammen hängen. Dazu brauchen wir nicht die vollständige Mathematik von Fourier. Diese wird z.B. genutzt um in SDR ein komplettes Band darzustellen und ermöglicht das so genannte Wasserfall-Diagramm.

Hier reicht uns die einfachere Reihenentwicklung nach Fourier. Aber auch für die braucht man immer noch Integralrechnung. Aber auch die muss man nicht selber machen. Es gibt so genannte Algebra-Software die das für einen erledigt. Ein schönes Tool im Internet dafür ist Wolfram Alpha. Man benötigt also eine mathematische Beschreibung für die Kurvenform die man betrachten möchte.

Oberwellen und FourierDer Sägezahn lässt sich innerhalb einer Periode einfach durch y=x beschreiben. Dann setzt man diese Funktion in die Reihenentwicklung ein und erhält die Funktion die man integrieren muss:
x sin(kx) .

Nun fragen wir also Wolfram Alpha nach:

integrate x sin(kx)

Hier ist das Ganze dann ausformuliert: fouriersägezahn .

Wir erhalten also das vermutlich schon bekannte Ergebnis, dass der Sägezahn alle Oberwellen einer negativen Sinus-Schwingung mit um 1/k fallender Amplitude und gleicher Phasenlage im Nullpunkt enthält. Die Phasenlage interessiert uns zwar in der Funktechnik eher selten, aber nur wenn man sie berücksichtigt erhält man grafisch das richtige Ergebnis.

Um solche Funktionen grafisch darzustellen kann man Wolfram Alpha bemühen, aber es geht z.B. auch offline mit GnuPlot.

GnuPlot erlaubt einfach Komma-separiert mehrere Funktionen in der gleichen Grafik darzustellen. Um sich also anzuzeigen wie aus einem Sinus durch hinzufügen der Oberwellen allmählich ein Sägezahn wird kann man folgendes in GnuPlot eingeben:

plot  \
-sin(x) - sin(2*x)/2, \
-sin(x) - sin(2*x)/2 - sin(3*x)/3, \
-sin(x) - sin(2*x)/2 - sin(3*x)/3 - sin(4*x)/4, \
-sin(x) - sin(2*x)/2 - sin(3*x)/3 - sin(4*x)/4 - sin(5*x)/5

Und dann erhält man Ergebnis so eine Grafik:

Oberwellen und Fourier

Man sieht sehr schön, dass der fallende Ast immer steiler wird und die Spitzen immer ausgeprägter werden mit immer mehr Oberwellen. Der steigende Ast hingegen bleibt wellig und wird erst mit viel mehr Oberwellen gerade.

Sehr ähnlich wie den Sägezahn kann man auch das Dreieck als Signalform nach Fourier analysieren. Wer mag, kann das ja mal selber für ein symmetrisches Rechteck durchrechnen. Bei sinnvoller Wahl des Rechtecks im Koordinatensystem ist es einfacher als das Dreieck, weil man keine bereichsweise Definition benötigt. Am Ende sollte heraus kommen, dass die Amplituden der ungeraden Harmonischen mit 1/k fallen.

Im Artikel über den Eichmarkengeber wird der aufwändigere Fall eines schmalen Rechtecks behandelt.

Zusammenfassung

Hier nochmal die Schritte zur Vorgehensweise:

  1. beschreibe die Kurve als Formel
    • vorzugsweise „geschlossen“, also nicht abschnittsweise -> weniger Rechenaufwand
    • vorzugsweise entweder Punkt-symmetrisch zum Nullpunkt oder spiegelbildlich zur y-Achse -> es reicht dann eine Reihe: entweder nur Sinus oder nur Kosinus
  2. integriere die Funktionen der Reihenentwicklung, ggf. mit einem Algebra-Tool
  3. vereinfache das Ergebnis unter Berücksichtigung der Rechenregeln für Sinus und Kosinus
    • nötigenfalls kann man auch Näherungen verwenden
  4. kontrolliere das Ergebnis grafisch

Ein Fehler der leicht passiert ist, dass die Amplituden-Faktoren (hier oft 1/k) im Ergebnis der falschen Funktion zugeordnet werden. Es gilt immer die Funktion noch vor dem Integrieren!

Und nicht wundern, wenn das eigene Ergebnis von denen „im Web“ abweicht. Sinus und Kosinus sind sich halt sehr ähnlich und lassen sich ineinander auf verschiedene Weisen umrechnen. So ergeben sich viele Darstellungen die gleichermaßen korrekt sind.

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