Viele Dinge im Amateurfunk sind mit dem hier angebotenen Rechenkurs nicht wirklich zu verstehen. Andererseits kann dieses Blog auch mehrere Jahre Schulmathematik oder gar Studium nicht ersetzen. Aber ich will versuchen in einfachen Worten ein paar Dinge zu erklären. Das hilft vielleicht beim Verständnis bei Themen wie „differentieller Widerstand“, „über die Zeit integriert“ bis hin zur Fourier-Transformation.

Ableitung

DifferentialrechnungBetrachtet man an einer Kennlinie eines Bauteils den differentiellen Widerstand so stellt man sich das meist als Steigungsdreieck vor. Man berechnet den Widerstand an dieser Stelle in dem man das ΔU durch ΔI teilt:

Rdiff = ΔU / ΔI

Das Bauteil verhält sich also an dieser Stelle in der Kennlinie wie ein Widerstand mit R=Rdiff. Dabei bleibt immer ein kleiner Fehler, weil man den Kurvenverlauf innerhalb des Dreiecks als Gerade annimmt. Um das zu vermeiden, macht man das Steigungsdreieck möglichst klein.

Nun kann man einen so genannten Grenzübergang machen. Man betrachtet nicht ein Steigungsdreieck direkt an der Kennlinie, sondern legt an die Kennlinie eine Tangente und bestimmt deren Steigung. Diese Steigung stimmt nun mathematisch exakt genau für den Punkt an der Tangente. Macht man das nun für jeden Punkt der Kennlinie, erhält man die so genannte Ableitung der Kurve.

DifferentialrechnungDie Ableitung der Kurve beschreibt also in jedem Punkt die Steigung der Kurve. Diese Art mit den kleiner werdenden Differenzen am Steigungsdreieck umzugehen, nennt man Differentialrechnung. Das ist nicht zu verwechseln mit den Differentialgleichungen DGL. Letztere beschreiben, wie man mit den Differentialen selber rechnet. Das werden wir hier nicht behandeln.

In der Elektrotechnik ist die Ableitung der I/U-Kennlinie der differentielle Widerstand des Bauteils.

Integral

Betrachtet man den Leistungsbedarfs P eines Geräts über der Zeit t, so kann der Energieverbrauch berechnet werden, in dem man die Leistung mit der Zeit multipliziert, also:

E = P * t

Grafisch bedeutet das, wir berechnen die Fläche von einem Rechteck mit Kantenlängen P und t. Das geht nicht mehr so einfach, wenn sich die Leistung mit der Zeit ändert. Nun kann man einen ähnlichen Trick wie bei der Ableitung machen. Wir betrachten nicht die Kurve selber, sondern ein anderes Konstrukt, welches wir einfacher beschreiben können: Man zerteilt die Kurve in schmale Rechtecke die jeweils an ihrer Position im Mittel die richtige Höhe haben und summiert diese Rechtecke auf.

DifferentialrechnungNun macht man wieder einen so genannten Grenzübergang und macht die Rechtecke immer schmaler. Dadurch passen sie sich immer besser der Kurve an. Hier ist es etwas schwieriger zu verstehen, wie das genau funktioniert, denn am Ende hat man unendlich viele unendlich schmale Rechtecke, also eigentlich nur noch Linien.

Man sagt, um die Energie zu erhalten, muss man die Leistung über die Zeit integrieren. Das nun exakt zu beschreiben, würde zu weit führen. Wir merken uns hier, dass man die Fläche unter einer Kurve Integral nennt und diese ggf. per Software berechnet werden kann.

In der Elektrotechnik ist das Integral der P/t-Kurve der Energieverbrauch eines Geräts.

Transformation nach Fourier

Im Empfänger kommen Signale von vielen Frequenzen über die Zeit in wechselnden Signalstärken an. Möchte man das grafisch darstellen, kann man ein Sägezahnsignal auf den VCO eines Empfänger geben. Den Sägezahn gibt man auf den x-Eingang eines Osziloskop und die y-Achse zeigt die Signalstärke an. Auf einer gegebenen ZF-Bandbreite funktioniert das ganz gut und das wurde auch lange so gemacht.

Aber auch hier gibt es die Variante das mit Software zu machen. Nach Fourier gibt es einen mathematischen Zusammenhang zwischen der Signalstärke über der Zeit und der Amplitude über der Frequenz. Dieser Zusammenhang steckt im Integral. Das Integral der Leistung über der Zeit entspricht dem Integral der Energie über der Frequenz.

Durch die Transformation wird die originale Funktion quasi auf jede mögliche Frequenz abgetastet um den Pegel und die Phasenlage bei dieser Frequenz zu ermitteln. Das nun genau mit Worten zu beschreiben führt hier zu weit. Aber hier gibt es ein recht anschauliches Video, welches diese Abtastung schön veranschaulicht:

Youtube

Das könnte man nun für eine Funktion exakt ausrechnen. Das Signal liegt aber nicht als Funktion vor, sondern als Messwerte. Man kann die Transformation auch „diskret“ mit Messwerten durchführen. Macht man das mit der originalen Methode von Fourier, wird es sehr kompliziert und rechenzeitintensiv.

Es gibt aber eine Variante der Fourier-Transformation speziell für diskrete Messwerte. Mit der Fast Fourier Transformation FFT kann man die Darstellung über der Frequenz schnell und genau berechnen. Diese FFT steht heute als Bibliothek für praktisch jede Programmiersprache und jede Plattform zur Verfügung. Dazu ist sie als Funktion in Software für Bild- und Ton-Verarbeitung vorhanden. Der Programmierer ist hier praktisch „Anwender“ und muss letztlich nicht viel darüber wissen wie es gemacht wird, auch wenn es sicher nicht schaden kann wenigstens eine Idee davon zu haben.

 

DifferentialrechnungDa Rechenleistung heutzutage billiger ist als Analogtechnik, lässt sich mit Hilfe der FFT eine Spektraldarstellung viel einfacher und universeller durchführen als die Variante mit dem VCO und dem Sägezahn. Gleichzeitig ist mit der Berechnung auch die informativere Darstellung als „Wasserfall“ sehr einfach möglich.

Besonders beim Wasserfall muss man sich über die Achsen klar werden. Da hier auch wieder die Zeit als Achse benötigt wird um die zeitliche Änderung der Frequenzdarstellung aufzuzeigen, bedient man sich eines weiteren Tricks: Der Pegel wird nicht als Achse dargestellt, sondern als Farbskala. Hier als Beispiel die Darstellung eines Audiopegels und eines so genannten Spektrogramm aus dem Audio-Tool Audacity.  Niedrige Pegel sind dunkel und blau, hohe Pegel rot und hell.

In der Funktechnik ist die Fourier-Transformation der Wechsel von der Darstellung über die Zeit in die Darstellung über die Frequenz.

Siehe auch Oberwellen und Fourier

 

Kategorien: Technik

DD3AH

Der Mathematiker unter den Funkamateuren