Hat man ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und dem höchsten Koeffizienten gleich 1, so muss jede rationale Lösung ein ganzzahliger Teiler des konstanten Terms sein.
Hier eine skizzierte Beweisführung anhand eines konkreten Beispiels:
$$x^3 − x^2 = − 12 $$
Nehmen wir an, es gibt ein rationales x, welches die Gleichung löst. Also schreiben wir x als p/q mit ganzzahligen p und q, Dazu wird festgelegt dass p und q teilerfremd sind, also p/q gekürzt ist.
$$(p/q)^3 − (p/q)^2 = − 12 $$
Wir multiplizieren das Ganze mit $q^3$.
$$ p^3 − p^2q = − 12 q^3 $$
Nun bringt man die q auf die gleiche Seite.
$$ p^3 = p^2q − 12 q^3 $$
Ein q ausklammern.
$$ p^3 = q ( p^2 − 12 q^2) $$
Die Primfaktoren von q müssen in $p^3$ und damit in p als Primfaktoren enthalten sein. Da p und q teilerfremd sind, geht das nur, wenn q gleich 1 ist. Damit steht fest, dass x = p ganzzahlig sein muss.
$$ p^3 = p^2 − 12 $$
p auf eine Seite bringen und ausklammern.
$$ p ( p − p^2 ) = 12 $$
Und hier muss p als Faktor in 12 enthalten sein. Alle rationalen Lösungen für x müssen also Teiler von 12 sein. Dabei ist zu beachten, dass auch negative Zahlen Teiler sind. In diesem Fall ist x=−2 eine Lösung.
Noch mal zur Klarstellung: Die Aussage ist nicht, dass es eine Lösung unter den Teilern von 12 gibt, sondern: Wenn es eine rationale Lösung gibt, dann ist sie ein Teiler von 12. Diese Regel kann helfen, die Möglichkeiten beim „Raten“ von Lösungen solcher ganzzahliger Polynome einzuschränken. Eine genauere und allgemeinere Beschreibung findet sich in Wikipedia. Lässt man zu, dass der höchste Koeffizient ungleich 1 ist, dann verallgemeinert sich der Satz auch für rationale Koeffizienten. Die Lösungen sind dann auch rational. Auch dieser Fall wird in Wikipedia behandelt.
Die weiteren Lösungen findet man, indem man eine Polynomdivision mit der gefundenen Lösung durchführt. In diesem Fall:
$$(x^3 − x^2 + 12) : (x+2) = x^2 − 3x + 6$$
Nach der obigen Regel müssten weitere rationale Lösungen Teiler von 6 sein. Man wird keine finden. Mit der üblichen pq-Formel findet man die anderen Lösungen. In diesem Fall sind sie komplex.