Das kleine Einmaleins hat wohl jeder in der Schule auswendig lernen müssen. Warum ist es so wichtig? Um größere Zahlen schriftlich multiplizieren zu können, ist es sinnvoll diese Teilschritte schnell parat zu haben. Das Gleiche gilt auch für das schriftliche Dividieren. (Zur Veranschaulichung dieses Texts kann man sich gleich in einem zweiten Fenster das am Ende verlinkte kleine Einmaleins öffnen.)
Um sich das Lernen etwas zu erleichtern, kann man sich ein paar Eigenheiten zunutze machen. Als Erstes kann man sich überlegen, welche Spalten und Zeilen banal oder trivial sind. Das sind wohl die mit 0, 1 und 10. „Mal 0“ ist immer 0. „Mal 1“ ist einfach die andere Zahl selbst. Und „Mal 10“ ist einfach eine Null hinten dran. So bleiben von den 11*11 = 121 Zahlen, die man auswendig lernen muss, nur noch 8*8 = 64. Aber es geht noch weiter. Die Multiplikation ist kommutativ („vertauschbar“):
$$5 * 6 = 6 * 5 $$
Da sind es schon nur noch 36. Es wird nicht genau die Hälfte, weil wir die auf der Diagonale alle lernen müssen. Aber das sind gleichzeitig die Quadratzahlen. Die hat man also damit auch gleich gelernt.
Als kleine Kontrolle, ob man die richtige Zahl gelernt hat, kann man sich anschauen, ob die Zahl gerade oder ungerade ist. Nur eine ungerade Zahl mal eine ungerade Zahl ergibt wieder eine ungerade Zahl. Alle anderen Kombinationen ergeben eine gerade Zahl.
Hier ein Beispiel mit einem Rechteck mit Kantenlängen 3 und 5, was eine Multiplikation von 3 und 5 repräsentiert. Gerade bedeutet, dass bei einer Füllung mit Zweier-Blöcken alles genau aufgeht. Die Zweierblöcke sind hier zur besseren Hervorhebung in rot, grün und blau eingefärbt. Nur wenn beide Kanten eine ungerade Länge haben, bleibt ein Feld übrig, was bedeutet, dass die Fläche eine ungerade Anzahl an Feldern hat und damit ungerade ist.
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Nun kann man sich noch ein paar Eselsbrücken bauen. Das ist wohl besonders bei den größeren Ziffern wichtig. Die Vielfachen von 5 haben am Ende immer 0 oder 5. Und es ist die Hälfte von „Mal 10“. In der 6er-Reihe steckt das Dutzend. In der 7er-Reihe stecken die Wochen (2 Wochen sind 14 Tage). Die 8er-Reihe ist das Doppelte von „Mal 4“. Und schließlich bei der 9 wird immer die Zehnerstelle eins hoch und die Einerstelle eins heruntergezählt. Das wird klar, wenn man sich das in Kästchen mit 10er-Reihen aufmalt. Immer wenn 9 dazu kommen, kommt man in die nächste Zeile, und man erreicht eine Spalte weniger. Oder man merkt sich, dass es immer die andere Zahl weniger als „Mal 10“ ist:
$$ 6 * 9 = 6 * (10 − 1) = 6 * 10 − 6 $$
Hier eine grafische Darstellung in Google Drive. Die Diagonale mit den Quadratzahlen ist gelb. Die sonst zu lernenden Zahlen sind die grünen oder die blauen. Die ungeraden Zahlen sind kursiv dargestellt. Die zu multiplizierenden Ziffern stehen in der ersten Spalte und der ersten Zeile in rot.
Einige Produkte tauchen doppelt auf. Das sind genau die mit einer Primfaktorenzerlegung mit mehr als 2 Faktoren. Gemäß dem Assoziativgesetz der Multiplikation kann man diese unterschiedlich zusammenfassen. Und wenn diese alternativen Zusammenfassungen auch wieder aus Ziffern, also einstelligen Zahlen, bestehen, erhalten wir zwei Einträge des Produkts im kleinen Einmaleins, so wie beispielsweise $12=2*2*3 = 2* \underbrace {(2*3)}_{6} = \underbrace {(2*2)}_4 *3 $.
