Wie wir aus der Freiraumdämpfung schon wissen, nimmt die Leistungsdichte mit der Entfernung quadratisch ab. Wir können die Gleichung nun so umformen, dass wir nicht die Dämpfung betrachten, sondern die absolute Leistungsdichte S am Empfangsort in Abhängigkeit von der Senderleistung P. Diese Leistungsdichte ist unabhängig von der Wellenlänge, weil hier die Größe der Empfangsantenne nicht eingeht. Dazu kommt noch der Gewinnfaktor Gi der Sendeantenne.

Die Senderleistung P und den isotropen Gewinnfaktor $ G_i $ fassen wir zur equivalenten Strahlungsleistung EIRP zusammen:

$$EIRP = P G_i$$

Eigentlich sollte man das EIRP besser mit einem Index schreiben, also beispielsweise $P_{EIR}$, damit klar wird, dass das eine Leistung ist und kein Produkt von vier Größe E, I, R und P ist. Aber da sich das EIRP so durchgesetzt hat, wird es hier auch so benutzt.

Wichtig ist zu beachten, dass hier der Gewinnfaktor Gi und nicht einfach der Gewinn in dBi benutzt werden muss.

$$ G_i = 10^{dBi/10} $$

Die Leistungsdichte S ergibt sich dann mit Entfernung vom Sender r zu:

$$  S = { EIRP \over  {4 \pi r^2} } $$

Die Leistungsdichte S ist äquivalent zum Leistungsgesetz das Produkt aus elektrischer Feldstärke E und der magnetischen Feldstärke H. Weil die für uns relevanten Grenzwerte für E angegeben werden, betrachten wir also auch nur E.

$$ S = E H $$

Der Wellenwiderstand $Z_0$ im Vakuum und näherungsweise auch in Luft beträgt ca. $377 \Omega$ und berechnet sich äquivalent zum Ohm’schen Gesetz gemäß:

$$Z_0 = E/H $$

Das löst man nach H auf und setzt es oben in die Gleichung für S ein und löst nach E auf und erhält schließlich:

$$\begin{align}
E &=  \sqrt {377 \Omega \, EIRP  \over 4 \pi r^2 } \newline
\newline
&\approx { \sqrt {30 \Omega \, EIRP }  \over r } \newline
\newline
&\approx { 5{,}5 \; \sqrt { \Omega \, EIRP } \over r }
\end{align}$$

Während die Leistungsdichte quadratisch mit dem Abstand sinkt, fallen die Feldstärken nur linear ab, weil die Leistung das Produkt aus der elektrischen und magnetischen Feldstärke ist.

Das einsame $\Omega$ in der dritten Zeile sieht etwas merkwürdig aus und wird in den meisten Formelsammlungen auch einfach weggelassen. Korrekterweise sollte es aber in der Formel stehen bleiben, weil sonst die Einheiten nicht stimmen; auch wenn es bei der Berechung der Zahlenwerte natürlich nicht beachtet werden muss.

In älterer Literatur werden die $377 \Omega$ durch $2 \pi \, 60 \Omega$ hergeleitet, sodass im nächsten Schritt die $30 \Omega$ sogar exakt sind. Das passt nicht nur zufällig, sondern war bis zu einer der neueren Detailveränderungen an unserem Einheitensystem wirklich exakt richtig.

Das eben war der “Schnelldurchgang” durch die Herleitung. Ausführlicher und mit erklärenden Grafiken steht es z.B. bei Moltrecht.

In der Literatur findet sich teilweise auch ein Wert von 49 statt 30, bzw. 7 statt 5,5 aus der Wurzel gezogen. Diese Werte gelten, wenn der Gewinn der Antenne über dem Dipol also in Gd bzw. dBd benutzt werden. Der Gewinn des Dipols ist hier also schon mit eingerechnet.

Anwendung

Für die Praxis gelten Grenzwerte für die Feldstärke, die einzuhalten sind. Von 10 bis 400 MHz gelten pauschal Emax = 28V/m. Nehmen wir einen Sender mit einer Leistung von 10W an einer Antenne ohne Gewinn, also 0dBi bzw einem Gi von 1 an.

$$ r = {1 \over 28 V/m} \sqrt {30 \Omega * 10 W} \approx 0{,}7m$$

D.h. mit unter 1m Sicherheitsabstand muss ich mich bei 10W in unmittelbarer Nähe der Antenne befinden um den Grenzwert zu überschreiten. Man geht davon aus, dass der Betreiber der Sendeanlage diesen Abstand sicher unter Kontrolle hat. Deshalb braucht eine Anlage von 10W Strahlungsleistung keine Selbsterklärung.

Diese Grenzwerte gelten über 6 Minuten gemittelt, wobei davon ausgegangen wird, dass in dieser Zeit durchgehend gesendet wird. Die Pausen, die sich durch den Simplex-Betrieb aus dem QSO ergeben, zählen also nicht. Aber es ergibt sich je nach Betriebsart noch ein Reduzierungsfaktor. Bei allen Betriebsarten, bei denen die Nennleistung durchgehend abgestrahlt wird, ist dieser Faktor 1. Das betrifft z.B. FM oder RTTY. Aber bei CW ergibt sich durch die Tastpausen ein Faktor von ca. 1/4 und bei SSB durch die Sprachmodulation sogar von nur 1/6.

Dieser Aspekt wird im Fragenkatalog bzw. bei Moltrecht weiter hinten beim Personenschutz behandelt.

 

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Kategorien: Technik