Was ist der Goldene Schnitt? Oft wird in jedes gefällige Verhältnis von Streckenlängen der Goldene Schnitt hineininterpretiert. Tatsächlich trifft diese „Gefälligkeit“ auf die meisten Verhältnisse zu, die einen Wert irgendwo in der Mitte zwischen 1:1 und 1:2 haben, also beispielsweise 2:3, worauf z. B. in der Fotografie das recht beliebte Kleinbildformat 24×36 beruht.
Was ist der Goldene Schnitt nun also genau? Er beschreibt die Teilung a einer Strecke, die wir hier einfach zu Länge 1 in wahlfreien Koordinaten annehmen, sodass das Verhältnis der Teilung der Gesamtstrecke 1:a genau auch der Teilung von linker Strecke a zum Rest der Strecke 1-a, also a:(1-a) entspricht.
Als Formel geschrieben:
$$ \frac {1}{ a} = \frac {a} {1 − a} $$
Mit den Nennern multiplizieren:
$$ 1 − a = a^2 $$
und zu einer quadratischen Gleichung umformen
$$ \textcolor{blue}{a^2 + a} − 1 = 0 \tag{1}$$
Um die binomische Formel anwenden zu können, suchen wir die quadratische Ergänzung, die den linearen Term +a ergibt. Der rechte binomische Term (üblicherweise b genannt) berechnet sich zu $+a / 2a = 1/2$ . Und so ergibt sich als quadratische Ergänzung also 1/4:
$$ (a + 1/2)^2 = \textcolor{blue}{a^2 + a} + \textcolor{green}{1/4} \tag{Nebenrechnung}$$
Wir müssen mit dieser binomischen Gleichung also 1/4 als Korrektur abziehen und können somit unsere Gleichung (1) umformen:
$$ (a + 1/2)^2 − \textcolor{green}{1/4} −1 = 0$$
Nun bringen wir die Konstanten auf die andere Seite und ziehen die Wurzel
$$ a + 1/2 = \sqrt {5/4} \tag{2}$$
Jetzt noch die Konstante 1/2 auf die rechte Seite und die Wurzel vereinfachen:
$$ a = \frac { \sqrt{5} − 1 }{2} \approx 0{,}61$$
Dieses Verhältnis hat viele interessante Eigenschaften. So hat der Kehrwert dieser Zahl die gleichen Nachkommastellen.
$$ a = 1/a -1 $$
Die Gleichung (2) hat natürlich auch die negative Wurzel als Lösung. Damit ergibt sich -1,61 als alternatives Ergebnis. Hier finden wir wieder die gleichen Nachkommastellen. Für die ursprüngliche Aufgabenstellung, die Teilung a einer Strecke der Länge 1 zu finden, ist dies aber keine Lösung, weil ein a außerhalb des Intervalls von 0 bis 1 eben keine Teilung der Strecke ist. Es wird aber in anderer Literatur auch häufig genau der Kehrwert 1,61 als Goldener Schnitt bezeichnet.
In der sogenannten Kettenbruchdarstellung hat diese Zahl unendlich viele Einsen stehen. Typische Brüche haben eine endliche Anzahl von Elementen in ihrem Kettenbruch und einige größere Zahlen darunter. Daher wird der Goldene Schnitt auch die irrationalste Zahl genannt. Das bedeutet auf die Musik übertragen, dass ein Raum mit diesem Verhältnis seiner Abmessungen eine neutrale Akustik hat, weil keine Frequenz durch ein harmonisches Verhältnis bevorzugt wird; nicht mal näherungsweise.
Es finden sich in Wissenschaft und Technik und sogar in der Natur viele Anwendungsfälle für den Goldenen Schnitt. In der Funktechnik könnte der Goldene Schnitt sinnvoll anwendbar sein, wenn benachbarte Strukturen keine gemeinsamen Resonanzen aufweisen sollen.
