Wir kennen den Logarithmus als die mathematische Grundlage des Dezibel. Dabei rechnen wir immer mit dem dekadischen Logarithmus zur Basis 10. Betrachten wir hier den Logarithmus allgemein zu einer beliebigen Basis und erforschen seine Eigenheiten, um ihn genauer kennenzulernen.
Die Potenz ist uns als Operation beim Rechnen vertraut. Ebenso die Wurzel und der Logarithmus. Und den meisten ist wohl auch klar, dass diese Operationen zwei Parameter haben, die verschiedene Dinge tun.
Der Einfachheit halber meinen wir hier die Wurzelfunktion. Das bedeutet, es gilt immer das positive Ergebnis. Wer sich beim Rechnen mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmen noch nicht ganz sicher ist, arbeitet am besten noch mal den Rechenkurs durch.
Und daraus kurz zur Erinnerung: Bei Addition und Multiplikation tun die beiden Parameter das gleiche. Man kann also bei a+b sowohl für a als auch für b die gleiche Umkehrung anwenden, eben die Subtraktion. Im Gegensatz dazu geht das bei der Potenz ab nicht.
Potenz und Wurzel sind Umkehrfunktionen zueinander. Aber wenn zwei Parameter im Spiel sind, die etwas Unterschiedliches tun, dann gibt es auch zwei Arten von Umkehrungen. Und diese zweite Art der Umkehrung zur Potenz ist der Logarithmus.
Hier noch zur Erinnerung die beiden Umkehrungen:
$$ a = x^b \ \ \Longleftrightarrow \ \ x = \sqrt[b]a$$
$$ a = b^x \ \ \Longleftrightarrow \ \ x = \log_b a$$
Beachte, dass die Variablen in den Zeilen unabhängig genutzt werden. Generell werden die ganzen a, b und x in diesem Artikel immer wieder neu genutzt.
Diese drei Funktionen stehen quasi in einem Dreieck in einer Umkehr-Beziehung zueinander. Das bedeutet also, dass der Logarithmus auch eine Umkehrung der Wurzel ist. Diese kommt genau dann zum Zuge, wenn die Variable, nach der ich auflösen möchte, nicht die Zahl unter der Wurzel ist, sondern der sogenannte Wurzelexponent, also das, was bei der gewöhnlichen Quadratwurzel die zwei ist.
$$ \sqrt[x]{a} = b \ \ \Longleftrightarrow \ \ x = \log_{b}{a} $$
Eine historische Merkwürdigkeit ist dabei, dass Wurzel und Potenz symbolisch geschrieben werden, aber der Logarithmus mit seinem abgekürzten Namen geschrieben wird, so wie wir das beim Programmieren gewohnt sind. Etwas, das man immer beachten sollte ist, dass alle drei Funktionen zwei Parameter haben, auch wenn einer davon einen Default hat und oft nicht hingeschrieben wird, also bei der Wurzel die 2 und beim Logarithmus entweder die 10 oder die Euler’sche Zahl e.
Diese Dreiecks-Beziehung kann man sich mit einer symbolischen Schreibweise merken:
$$ \sideset{_2}{_8}{ \overset 3 \Delta } $$
Wichtig ist zu beachten, dass dieses Dreieck eine vollständige Gleichung beschreibt. Es ist also nicht einfach eine Rechenoperation. Und es ist auch nicht allgemein etabliert oder verbreitet. Aber ich denke, es ist als “Eselsbrücke” geeignet.
Die linke Ecke ist die Basis der Potenz und des Logarithmus, oben steht der Exponent oder die Wurzel und rechts das Argument von Wurzel und Logarithmus. Nun kann man immer paarweise zwei Ecken lesen und die dritte Ecke ist das Ergebnis. Klassisch aufgeschrieben steht da also
$$ 2^3=8 \ \Leftrightarrow \ \log_2 8 = 3 \ \Leftrightarrow \ \sqrt[3]{8} = 2 $$
So lassen sich bestimmte Rechenregeln wie eine Formelsammlung übersichtlich aufschreiben.
$$ \sideset{_a}{_a}{ \overset 1 \Delta }\ , \ \
\sideset{_a}{_1}{ \overset 0 \Delta }\ , \ \
\sideset{_0}{_0}{ \overset a \Delta }\ , \ \
\sideset{_1}{_1}{ \overset a \Delta }\ , \ \ \
\sideset{_a}{_c}{ \overset b \Delta } \Leftrightarrow \sideset{_c}{_a}{ \overset {1/b} \Delta }$$
Das liest sich dann also am ersten Fall erklärt so: Eine beliebige Zahl a hoch 1 ergibt wieder a. Daraus ergibt sich, dass der Logarithmus zur Basis a von a immer 1 ist.
Interessant sind dabei die Fälle mit zwei konstanten Zahlenwerten. Diese beschreiben nicht definierte Lösungen. So ist der Logarithmus zur Basis 1 nicht definiert, denn gemäß einer Rechenregel müsste er sich berechnen lassen, indem man durch den Logarithmus von 1 teilt. Der ist aber immer 0.
Besonders die letzte Beziehung ist spannend. Da steht zum einen, dass eine b-te Wurzel das Gleiche ist wie eine Potenz von 1/b. Aber da steht auch, dass beim Logarithmus durch Vertauschen von Basis und Argument sich im Ergebnis einfach der Kehrwert ergibt:
$$ \log_{a}{10} = 1 / \log_{10}{ a} $$
Diese enge Beziehung zwischen diesen Funktionen lässt sich nutzen, um Rechenregeln herzuleiten und zu beweisen:
Logarithmen von Produkten
$$ \log_c{a b } = \log_c{a} + \log_c{b}$$
Nehmen wir beide Seiten als Potenz zur Basis c:
$$ c^{\log_c{ab}} = c^{\log_c{a} + \log_c{b}} $$
Links hebt sich die Potenz zur Basis c und $\log_c$ direkt weg, rechts ziehen wir zuerst noch die Summe der Exponenten zu Produkten von Potenzen auseinander:
$$ ab = c^{\log_c{a} } c^{\log_c{b}} $$
Jetzt fällt auch rechts beide Male das $c^{\log_c} $ weg und wir erhalten die wahre Aussage ab=ab, womit die Formel bewiesen ist.
Logarithmen von Potenzen
Wenn a und b gleich sind, kann man das auch als Potenz schreiben und daraus folgt dann, dass die Exponenten zu Vorfaktoren werden:
$$ \log{ ( \underbrace{a*a*…*a}_n )} = \log{a^n } = n \log{a} $$
Umrechnung der Basis
Bekannt ist die Rechenregel zur Umrechnung einer Basis c in eine Basis b:
$$\log_c{a} = \log_b{a} \ / \ { \color{blue} \log_b{c}}$$
Um das zu beweisen, bringen wir den Nenner auf die andere Seite.
$$ { \color{green} \log_c{a}} \ \ { \color{blue} \log_b{c} } = \log_b{a} $$
Vorfaktoren vor Logarithmen lassen sich als Exponent im Argument schreiben.
$$ \log_b{c^{ \color{green} \log_c{a}}} = \log_b{a} $$
Exponentialfunktion und Logarithmus der gleichen Basis c sind Umkehrfunktionen und fallen damit also weg.
$$ \log_b{a} = \log_b{a} $$
Wir haben also die bekannte Formel in eine offensichtlich wahre Aussage überführt und die Formel damit bewiesen.
Oben haben wir gezeigt, dass sich beim Vertauschen der Parameter der Kehrwert ergibt. Das lässt sich auch mit dem hier beschriebenen Wechsel der Basis herleiten. Nehmen wir an, wir haben einen Logarithmus, den wir gern durch die Basis seines Arguments a ausdrücken wollen:
$$ \log_c a = \log_a a / \log_a c $$
Wenn beim Logarithmus Basis und Argument gleich sind, ist das Ergebnis immer 1, also ergibt sich auch mit dieser Herleitung:
$$ \log_c a = 1 / \log_a c $$
Logarithmen mit Potenzen in der Basis
Aus der Verkettung von Potenzen lässt sich ableiten, dass Potenzen von Basen von Logarithmen sich als inverser Vorfaktor rechnen lassen. Dazu löst man einmal die Gleichung mit b auf der linken Seite gleich dem grünen Teil nach x auf und dann mit b gleich der blauen Seite. Und dann betrachtet man die beiden rechten Seiten, hier in Violett:
$$ \begin{align}
& b && = { \color{green} (a^n)^x } && = { \color{blue} a^{n x} } \\
\Rightarrow \ & x &&= { \color{magenta} \log_{a^n}b } && { \color{magenta}= 1/n \ \log_a b }
\end{align}$$
Mithilfe der Primfaktorzerlegung von b und der Regel $\log_a a = 1$ lässt sich ein Ausdruck mit Logarithmen damit oft weiter vereinfachen.
$$ \begin{align}
x & = \log_9 333 \\
& = \log_9 (9 * 37) \\
& = 1+\log_{3^2}37 \\
& = 1+ 1/2 \ \log_3 37
\end{align}$$
Das natürlich nur unter der Annahme, dass man kleinere Zahlen als Vereinfachung betrachtet, auch wenn dann mehr Rechenoperationen nötig sind.
