Was ist Stammfunktion nun wieder? Wir sprachen schon von Integralen. Eine Stammfunktion ist sozusagen die Verallgemeinerung davon. Anders herum gesagt: Ein Integral ist eine Stammfunktion auf eine bestimmte Aufgabenstellung angewandt. Den Begriff Polynom haben wir auch schon ein paar mal benutzt. Es sind Aufsummierungen von Potenzen mit Vorfaktoren. Diese sind für uns nützlich, weil wir andere Funktionen in eine sogenannte Taylor-Reihe zerlegen können. Und die Stammfunktionen und Ableitungen oder Differenziale von Polynomen sind sehr einfach. Wichtig dabei ist, dass Stammfunktion und Differenzial quasi Umkehroperationen zueinander sind. Wenn ich also die Ableitung einer Funktion kenne, dann kenne ich automatisch umgekehrt auch die Stammfunktion vom Ergebnis.
$$ d/dx \, \sin (x) = \cos (x) $$
$$ \int \cos (x) \, dx = \sin (x) $$
Interessant ist dabei, dass diese Kette der Ableitungen dabei für eine gegebene Potenz > 1 immer bei null landet. Das liegt aber am Vorfaktor der dabei zu beachten ist. Ignoriert man diesen, so geht es danach bei den negativen Potenzen weiter. Diese kann man auch als Potenz im Nenner schreiben. Trägt man das grafisch auf, so hat man noch den Sonderfall der Potenz von x0. Diese ist im Gegensatz zu allen anderen Potenzen nicht symmetrisch zum Nullpunkt, sondern eine waagerechte Linie bei einem Wert ungleich 0. Dabei ist noch der Sonderfall 00 zu betrachten. Einerseits ist jede Zahl hoch Null immer 1. Andererseits ist Null hoch eine beliebige Zahl immer Null. Wendet man aber nicht einfach nur das Rechenschema für Ableitungen an, so findet man, dass hier die 1 die richtige Lösung ist. Aber das lässt sich nicht verallgemeinern.
Betrachtet man umgekehrt die Stammfunktionen, also die unbestimmten Integrale, so ist 1/x ein Sonderfall und auch hier wieder nicht wegen der Potenz selber, sondern wegen des Vorfaktors. Mit der naiven Regel gebildet wäre dieser 1/0, also als Grenzwert unendlich. Bildet man das Integral “ordentlich” als Grenzwertübergang, so findet man die richtige Lösung zu ln(x).
Betrachtet man die gleiche Stelle bei den Ableitungen, so sieht man dass die Steigung 0 als letzte Ableitung sich nur aus dem Vorfaktor ergibt. Der Exponent wird hier -1, die Potenz ist also 1/x. Die Ableitung hat also eigentlich auch einen Sonderfall an dieser Stelle, nur dass der nicht anders berechnet werden muss.
Es sieht nun so aus als fällt diese Lösung völlig aus dem Rahmen. Betrachtet man jedoch nicht die Funktionen selber, sondern ihre Potenzreihendarstellung nach Taylor, sieht es wieder recht einfach aus. Zu beachten ist allerdings, dass sich der Logarithmus nicht wie sonst üblich um 0 entwickeln lässt. Man entwickelt die Reihe des Logarithmus meist um 1 und macht das dann für die Polynome genau so. Mit Mathematica geht das ganz einfach, hier bis zum fünften Element, was ausreichend ist um die Serie zu erkennen. Bei Bedarf kann man sich auch höhere Elemente ausrechnen lassen
Series[Log[x], {x, 1, 5}]Die ganzzahligen Potenzen ergeben sich zu endlichen Polynomen und die gebrochenen Potenzen entwickeln sich ganz zwanglos beim Integrieren hin zur Potenzreihe des Logarithmus.
Betrachtet man also die Taylor-Reihe, so ist das Integral von 1/x kein merkwürdiger Sonderfall