Was ist Stammfunktion nun wieder? Wir sprachen schon von Integralen. Eine Stammfunktion ist sozusagen die Verallgemeinerung davon. Anders herum gesagt: Ein Integral ist eine Stammfunktion auf eine bestimmte Aufgabenstellung angewandt. Den Begriff Polynom haben wir auch schon ein paar mal benutzt. Es sind Aufsummierungen von Potenzen mit Vorfaktoren. Diese sind für uns nützlich, weil wir andere Funktionen in eine sogenannte Taylor-Reihe zerlegen können. Und die Stammfunktionen und Ableitungen oder Differenziale von Polynomen sind sehr einfach. Wichtig dabei ist, dass Stammfunktion und Differenzial quasi Umkehroperationen zueinander sind. Wenn ich also die Ableitung einer Funktion kenne, dann kenne ich automatisch umgekehrt auch die Stammfunktion vom Ergebnis.
$$ d/dx \, \sin (x) = \cos (x) $$
$$ \int \cos (x) \, dx = \sin (x) $$
Interessant ist dabei, dass diese Kette der Ableitungen dabei für eine gegebene Potenz > 1 immer bei null landet. Das liegt aber am Vorfaktor der dabei zu beachten ist. Ignoriert man diesen, so geht es danach bei den negativen Potenzen weiter. Diese kann man auch als Potenz im Nenner schreiben. Trägt man das grafisch auf, so hat man noch den Sonderfall der Potenz von x0. Diese ist im Gegensatz zu allen anderen Potenzen nicht symmetrisch zum Nullpunkt, sondern eine waagerechte Linie bei einem Wert ungleich 0. Dabei ist noch der Sonderfall 00 zu betrachten. Einerseits ist jede Zahl hoch Null immer 1. Andererseits ist Null hoch eine beliebige Zahl immer Null. Wendet man aber nicht einfach nur das Rechenschema für Ableitungen an, so findet man, dass hier die 1 die richtige Lösung ist. Aber das lässt sich nicht verallgemeinern.
Betrachtet man umgekehrt die Stammfunktionen, also die unbestimmten Integrale, so ist 1/x ein Sonderfall und auch hier wieder nicht wegen der Potenz selber, sondern wegen des Vorfaktors. Mit der naiven Regel gebildet wäre dieser 1/0, also als Grenzwert unendlich. Bildet man das Integral “ordentlich” als Grenzwertübergang, so findet man die richtige Lösung zu ln(x).
Es sieht nun so aus als fällt diese Lösung völlig aus dem Rahmen. Betrachtet man jedoch nicht die Funktionen selber, sondern ihre Potenzreihendarstellung nach Taylor, sieht es wieder recht einfach aus. Die Potenzen größer 1 haben sich trivialerweise selbst als Potenzreihe. Die gebrochenen Potenzen hingegen entwickeln sich hingegen ganz zwanglos beim Integrieren hin zur Potenzreihe des Logarithmus.