N-Ecke sind zweidimensionale („flache“) geometrische geschlossene Gebilde mit einer Anzahl n an geraden Kanten, die an n Ecken zusammenhängen, also sozusagen einen „eckigen Kreis“ bilden. Regelmäßig sind sie genau dann, wenn die Kanten alle gleich lang sind und die Ecken alle den gleichen Winkel haben. Im Alltag kennt man Dreieck, Viereck usw. Aber man kann das natürlich mit beliebig vielen Ecken machen.
In der Schule werden oft die Innenwinkel gelehrt. Die kann man sich aber schlecht merken und herleiten. Einfacher wird es, wenn man sich vorstellt, dass der Strich oder Stift, der das n-Eck zeichnen soll, immer nach einer bestimmten Strecke die Richtung ändert. Diese Richtungsänderung ist genau der Vollkreis, also $2 \pi$ respektive 360° geteilt durch n.
$ \alpha = 360° / n $
Wenn man das dann n mal gemacht hat, hat sich der Strich in n Teilschritten genau ein Mal um die eigene Achse gedreht und der Kreis schließt sich. Diese Art zu zeichnen wurde mal mit einer einfachen Programmiersprache namens Logo sehr anschaulich umgesetzt. Mit einer Art „dressierter Schildkröte“ (der Turtle) kann man damit geometrische Figuren zeichnen. Damit können auch Leute die Idee des Programmierens lernen, denen Datenstrukturen erst mal zu abstrakt sind.
Wie kommt man nun aber auf die Innenwinkel, wenn man sie doch mal braucht? Der Innenwinkel ist genau 180° bzw. π minus den Turtlewinkel α der „Kursänderung“, also 180° – 360°/n.
Auf dieser Basis lassen sich nun auch die Summen der Innenwinkel leicht bestimmen:
Winkelsumme S = n * Innenwinkel I
= n * (180° – Turtlewinkel α )
= n * (180° – 360° / n)
= 180° * (n-2)
Das Ganze funktioniert auch, wenn ich einen regelmäßigen Stern zeichne, wie z.B. ein Pentagramm. Der „Trick“ besteht darin, nicht zum nächsten Eckpunkt zu gehen, sondern mit jeder Strecke einen Eckpunkt zu überspringen, also immer zum Zweiten gehen. Auf diese Weise drehe ich mich zweimal komplett im Kreis, bevor ich wieder am Ausgangspunkt ankomme. Der Turtlewinkel α ist dann also 2*360° / n mit n in dem Fall 5.
Es funktioniert allerdings nur, wenn der Stern sich in einem Streckzug zeichnen lässt. Beim Davidstern funktioniert das nicht, dann wenn man beim Sechseck immer eine Ecke überspringt, zeichnet man ein Dreieck. Es funktioniert also, wenn die Anzahl der übersprungenen Eckpunkte plus 1 kein Teiler von n ist.
