Die Potenzen sind ja im Rechenkurs gut beschrieben. Dort geht es dann besonders um die Umkehrfunktionen, die Wurzel und den Logarithmus. Aber auch die Potenz selber ist interessant. Mit den Potenzfunktionen lassen sich z.B. Näherungen für Kurvenverläufe darstellen. Die Quadratfunktion ist wohl der bekannteste Vertreter:

y = x2

Was passiert nun, wenn wir die rechte Seite umdrehen und das x in den Exponenten schreiben? Wir sprechen dann von einer Exponentialfunktion:

y = 2x

WachstumsfunktionDie 2 steht hier als Beispiel für eine beliebige Basis. Betrachtet man diese Funktion grafisch, so sieht man, dass sie von beliebig kleinen Werten immer weiter anwächst. Man nennt sie daher auch die Wachstumsfunktion. Das Wachstum ist die Steigung der Funktion. Das weitere Wachstum der Exponentialfunktion hängt direkt linear von ihrem aktuellen Wert ab. Anschaulich gesagt: Wie stark sich Kaninchen in absoluten Zahlen vermehren können, hängt davon ab wie viele Kaninchen schon da sind.

Wählt man den Faktor dieser direkten Abhängigkeit zu 1, so erhält man als Basis die Euler’sche Zahl e ≈ 2,7 . Diese natürliche Wachstumsfunktion wird in Mathematik und Naturwissenschaften für gewöhnlich benutzt.

y = ex

Hat man nun mehrere Messwerte eines Wachstums in gleichmäßigen Abständen gesammelt, lässt sich die Wachstumsrate durch einen so genannten “Fit” bestimmen.

Nehmen wir z.B. diese Folge von täglich gemessenen Werte. Dann können wir ein Algebra-System wie Wolfram Alpha nutzen um einen so genannten “Exponential Fit” zu erhalten:

exponential fit 262 400 639 795 902 1139 1296 1567 2369 3062 3795 4838 6012 7156 8198 10999 13957 16662


y = 335.18 e0.217754 x

Der Faktor 0,2177… im Exponent ist eine eher unanschauliche Größe. Aber wir können ihn einfach umrechnen, in dem wir genau diese Potenz ausrechnen:

F = e0.217754 ≈ 1,24

So erhalten wir den Wachstumsfaktor F. Dieser Faktor ist der Quotient zweier benachbarter Werte. Eine 1 wäre eine Konstanz der Werte. Alles über 1 ist der Zuwachs. Unsere Werte nehmen also täglich um 1,24 – 1 =  0,24 = 24% zu. Und zwar ausgehend von rechnerisch 335 am nicht gemessenen “Tag 0”. So ein “Fit” mittelt verschiedene Abweichungen heraus. Dadurch liegen die Messwerte natürlich nicht exakt auf der Exponentialkurve. So fällt hier auf, dass der Tag Null einen höheren Wert hat als unser gemessener Tag 1. Je kleiner die Abweichungen sind, desto besser ist der Fit.

Oft möchte man wissen, nach welcher Zeit jeweils eine Verdopplung erreicht wird. Das erhält man, indem man vom gewünschten Faktor 2 den Logarithmus zur Basis des Wachstumsfaktor berechnet. Da wir den Faktor nicht als Basis direkt ausrechnen können, wenden wir die bekannte Rechenregel für die Basis des Logarithmus an:

logF 2 = ln 2 / ln F = 3,22

Wir haben also gut alle 3 Tage oder alle 77h eine Verdopplung der Werte.

Möchte man nun wissen, an welchem Tag vorher es genau 1 als Messwert gegeben hätte, setzt man die Exponentialfunktion einfach auf den gewünschten Wert und rechnet das aus, ggf. auch wieder mit Wolfram Alpha und erhält:

x ≈ -27

27 Tage vor dem “Tag 0” hat die Folge also rechnerisch genau mit 1 begonnen. Umgekehrt kann man auch ausrechnen wie lange es dauert bis ein bestimmter anderer Wert in der Zukunft erreicht wird, nehmen wir z.B. 80 Millionen und wir erhalten:

x ≈ 57

Das gilt aber ab “Tag 0”. Wir müssen also die Tage der 18 Messwerte abziehen um die Tage ab heute zu erhalten. Es sind also noch 57-18 = 39 Tage.

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