Wählt man innerhalb eines n-Eck einen Punkt und verbindet diesen mit den Ecken des n-Eck und mit den Mitten der Kanten, so entstehen 2*n Dreicke. Die beiden Dreicke an einer Kante haben die gleiche Fläche, denn sie haben die gleiche Breite und die gleiche Höhe (Abstand des dritten Punkt von der Breite).

Fläche eines n-Eck

Die Fläche des n-Eck F beträgt also je zwei Mal die Fläche dieser Dreiecke. Hier im Fall des gezeigten Viereck:

F = 2a + 2b + 2c + 2d

Bringt man die 2 auf die andere Seite, so ist also die Summe über jeweils eins der Dreiecke die halbe Fläche

F/2 =  a + b + c + d

Das kann man nun je nach Bedarf auch anders klammern und bekommt beim Viereck die Aussage, dass die Flächen an den gegenüberliegenden Ecken zusammengenommen auch jeweils eine Hälfte der Fläche bilden und damit gleich groß sind:

(a+b) + (c+d) = (a+d) + (b+c) = F/2

Damit lassen sich Flächen je nach Bedarf aufteilen und z.B. Probleme wie dieses lösen:

Mind Your Decisions

Genauer muss man dabei noch beachten, dass der frei gewählte Punkt ein so genannter “sternförmiger” Punkt ist. Das bedeutet, dass jeder Randpunkt des n-Eck auf gerader Linie erreicht werden kann ohne die Fläche des n-Eck zu verlassen. Bei konvexen n-Ecken ist das automatisch immer der Fall, also bei solchen wo alle Ecken nach außen zeigen.

Verallgemeinernd lässt sich jedes sternförmige n-Eck in k gleich große Teilflächen aufteilen, wenn man in der Lage ist, jede Kante in k gleiche Teile zu zerlegen.

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