Teilt man eine ganze Zahl a durch ihre Anzahl von Stellen an Neunen, so ergibt sich in dezimaler Schreibweise ein unendlicher Dezimalbruch aus genau der Zahl a. Warum ist das so? Zum einen wird schnell klar, dass die Neunen im Nenner dieses Bruchs immer den größeren Betrag haben. Das Ergebnis ist also kleiner als 1 und fängt damit sicher mit 0,… an.

Beim schriftlichen Dividieren lernt man das meist so, dass man immer mit einer einzelnen Stelle im Ergebnis pro Schritt arbeitet; einfach weil so das kleine Einmaleins ausreichend ist. Aber man kann das auch mit mehreren Stellen auf ein Mal machen. Nehmen wir hier genau die Anzahl der Stellen unserer Zahlen. Dann müssen wir auch passend viele Nullen dazu nehmen. Das bedeutet einfach mit der passenden 10er-Potenz malnehmen.

Bei jedem Schritt der schriftlichen Division rechnen wir also die Zahl im Zähler mal 10 hoch die Anzahl der Stellen minus die Zahl im Zähler mal die Neuner aus dem Nenner. Rechnet man das aus, so bleibt immer eben genau die Zahl aus dem Zähler übrig und das Spiel beginnt von neuem.

 0,45 = 45/99 
 
 45 : 99 = 0,45 45 45 ....
-4455
 ----
   45

45*102 – 45*99 = 45(100-99) = 45

Oder allgemein geschrieben für die Zahl a, hier oben also 45:

$ k = \lfloor  \log_{10} a \rfloor  + 1 $

Diese spezielle Klammer heißt untere Gauß-Klammer und bedeutet “Abrunden”. Mit den “Häkchen” oben wäre es die obere Gauß-Klammer für das Aufrunden. In der Variable k haben wir so also die Anzahl der Stellen von a, im Beispiel oben also die 2. Die Neuner schreiben wir für die Allgemeingültigkeit als eins weniger als die Zehnerpotenz.

$ a * 10^k \, – \, a * (10^k \, – \, 1) = a (10^k \, – \, 10^k \, + \, 1) = a $

Wer mag, kann nun noch überall konsequent die 10 durch die Basis des Zahlensystems ersetzen. Dann gilt das ganze auch für beliebige andere Zahlenbasen.

Kleines “Funfact” am Rande

Wer sich nun wundert, dass nach der Logik doch 9/9 = 0,9 sein müsste, aber 9/9 sich doch einfach zu 1 kürzen lässt: Ja das ist auch beides richtig. Die Regeln für reelle Zahlen erfordern, dass zwischen zwei unterschiedlichen Zahlen beliebig viele weitere Zahlen liegen. Umgekehrt gesagt: Wenn es zwischen zwei Zahlen keine anderen gibt, dann sind die beiden Zahlen gleich. Und zwischen 0,9 und 1 gibt es keine anderen Zahlen, also sind 0,9 und 1 exakt das Gleiche. Klingt komisch, ist aber so. 😃

Weil diese beiden Zahlen gleich sind, kann man einen Bruch wie 1/7 auch anders ausrechnen:

 0,9 : 7 = 0,142857
  -7
  --
   29
  -28
  ---
    19
   -14
   ---
     59
    -56
    ---
      39
     -35
     ---
       49
      -49
      ---
        0   

Und die 142857 ist damit auch genau der Wert um den man einen 7tel-Bruch erweitern muss, um einen 9er-Bruch zu erhalten.

1/7 = 0,142857 = 1/7 * 142857 / 142857 = 142857 / 999999

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