Teilt man eine ganze Zahl a durch ihre Anzahl von Stellen an Neunen, so ergibt sich in dezimaler Schreibweise ein unendlicher Dezimalbruch aus genau der Zahl a. Warum ist das so? Zum einen wird schnell klar, dass die Neunen im Nenner dieses Bruchs immer den größeren Betrag haben. Das Ergebnis ist also kleiner als 1 und fängt damit sicher mit 0,… an.
Beim schriftlichen Dividieren lernt man das meist so, dass man immer mit einer einzelnen Stelle im Ergebnis pro Schritt arbeitet; einfach weil so das kleine Einmaleins ausreichend ist. Aber man kann das auch mit mehreren Stellen auf ein Mal machen. Nehmen wir hier genau die Anzahl der Stellen unserer Zahlen vom Zähler und Nenner und damit die unserer Periode. Dann müssen wir auch passend viele Nullen dazu nehmen. Das bedeutet mit der passenden 10er-Potenz malnehmen.
Bei jedem Schritt der schriftlichen Division rechnen wir also die Zahl im Zähler mal 10 hoch die Anzahl der Stellen minus die Zahl im Zähler mal die Neuner aus dem Nenner. Rechnet man das aus, so bleibt immer eben genau die Zahl aus dem Zähler übrig und das Spiel beginnt von Neuem.
0,45 = 45/99
45 : 99 = 0,45 45 45 ....
-4455
----
45
45*102 – 45*99 = 45(100-99) = 45
Oder allgemein geschrieben für die Zahl a, hier oben also 45:
Als Erstes benötigen wir einen Wert k mit der Anzahl der Stellen, sodass wir damit rechnen können:
$ k = \lfloor \log_{10} a \rfloor + 1 $
Diese spezielle Klammer heißt untere Gauß-Klammer und bedeutet „Abrunden“. Mit den „Häkchen“ oben wäre es die obere Gauß-Klammer für das Aufrunden.
Kleine Aufgabe zum selber Überlegen: Warum haben wir hier nicht einfach aufgerundet?
In der Variable k haben wir so also die Anzahl der Stellen von a, im Beispiel oben also die 2. Die Neuner schreiben wir für die Allgemeingültigkeit als eins weniger als die Zehnerpotenz.
$ a * 10^k \, – \, a * (10^k \, – \, 1) = a (10^k \, – \, 10^k \, + \, 1) = a $
Wer mag, kann nun noch überall konsequent die 10 durch die Basis des Zahlensystems ersetzen. Dann gilt das ganze auch für beliebige andere Zahlenbasen.
Kleines „Funfact“ am Rande
Wer sich jetzt wundert, dass nach der Logik doch 9/9 = 0,9 sein müsste, aber 9/9 sich doch einfach zu 1 kürzen lässt: Ja, das ist auch beides richtig. Die Regeln für reelle Zahlen erfordern, dass zwischen zwei unterschiedlichen Zahlen beliebig viele weitere Zahlen liegen. Umgekehrt gesagt: Wenn es zwischen zwei Zahlen keine anderen gibt, dann sind die beiden Zahlen gleich. Und zwischen 0,9 und 1 gibt es keine anderen Zahlen, also sind 0,9 und 1 exakt das Gleiche. Klingt komisch, ist aber so. 😃
Weil diese beiden Zahlen gleich sind, kann man einen Bruch wie 1/7 auch anders ausrechnen:
0,9 : 7 = 0,142857 -7 -- 29 -28 --- 19 -14 --- 59 -56 --- 39 -35 --- 49 -49 --- 0
Und die 142857 ist damit auch genau der Wert, um den man einen 7tel-Bruch erweitern muss, um einen 9er-Bruch zu erhalten.
1/7 = 0,142857 = 1/7 * 142857 / 142857 = 142857 / 999999
Noch mehr dazu steht in Wikipedia.
Kompliziertere Fälle
In einem Bruch wie 5/18 = 0,27 steckt auch eine Periode drin. Aber der Fall ist etwas komplizierter, weil nicht alle Stellen periodisch sind. Hier hilft wieder der Trick, die Sache scheinbar erst mal komplizierter zu machen, um sie danach dann passend umformen zu können. Wir teilen den ganzen Bruch durch 10, um den Zähler um den Faktor 10 zu vergrößern. So können wir einen ganzzahligen Anteil aus dem Bruch herausziehen und wir trennen den nicht periodischen Anteil vom periodischen:
5/18 = (50/18)/10 = (2 14/18)/10 = (2 7/9)/10 = 1/5 + 7/90
Das 1/5 ist die 2 an der Zehntelstelle und 7/90 ist wie oben beschrieben die Periode 7 um eine Stelle nach rechts verschoben.
