Was steckt hinter den äquivalenten Umformungen einer Formel? Die Idee ist meistens, eine gegebene Formel nach dem gesuchten x aufzulösen. Das bedeutet, wir haben in der Formel irgendwo eine physikalische Größe stehen, die wir ausrechnen wollen. Solange sie aber irgendwo mitten in der Formel steht, wird uns das Ausrechnen schwerfallen. Also sorgen wir dafür, dass sie auf einer Seite des Gleichheitszeichens alleine steht, üblicherweise schreibt man sie dazu auf die linke Seite. Genau das bedeutet “nach x auflösen”. Das x steht dabei stellvertretend für jede beliebige Größe in der Formel.
Damit die Formel danach noch die gleiche physikalische Aussage hat, müssen wir die Formel so umstellen, dass sie sich eben im Kern nicht ändert. Genau das leisten die äquivalenten Umformungen. Die erste Regel dafür ist, dass man immer auf der rechten und der linken Seite des Gleichheitszeichens das Gleiche macht. Um nun zu entscheiden, was man sinnvollerweise tut, arbeitet man sich von außen nach innen an das x heran. Zu jeder mathematischen Operation, die das x sozusagen umhüllt, wird die Umkehrfunktion gesucht. Bei der Addition ist das die Subtraktion, bei der Multiplikation die Division. Diese Umkehrung gilt in beiden Richtungen. Die Umkehrfunktion der Division ist also die Multiplikation.
Umkehrfunktion bedeutet, dass in der Operation das Argument und das Ergebnis getauscht werden. Grafisch bedeutet das, die x und die y-Achse werden getauscht, bzw. die Funktion wird an der Winkelhalbierenden gespiegelt. Hier muss man noch beachten, dass nicht alle Funktionen im strengen Sinn auch eine Umkehr-Funktion haben. Eine Funktion bedeutet, dass zu jedem Argument im Definitionsbereich genau ein Ergebnis gehört. Wenn ich aber eine Funktion umkehre, die zu zwei Argumenten das gleiche Ergebnis liefert, dann erhalte ich eine Umkehrung, die zu einem Argument zwei Ergebnisse liefert, die also keine Funktion ist. Eine Methode damit umzugehen ist, den Definitionsbereich anzupassen. Als einfachstes Beispiel betrachte ich die Normalparabel $y=x^2$. Wenn ich den Definitionsbereich auf die positiven Zahlen festlege, dann erhalte die Umkehrfunktion $y=+\sqrt{x}$. Entsprechend kann ich beim Sinus den Definitionsbereich auf von $−\pi$ bis $+\pi$ festlegen.
Eine andere Tücke ist, dass man als äquivalente Umformung auch mal durch einen Ausdruck mit einer Variable teilen möchte. Dann muss festgehalten werden, dass dieser Ausdruck nicht Null werden darf. Dieser Sonderfall muss dann getrennt betrachtet werden, um eine vollständige Lösung zu erhalten.
Wie schon im Rechenkurs erwähnt, hat die Potenz zwei Umkehrungen. Steht das x in der Basis, so ist die Umkehrfunktion die Wurzel des Exponenten.
$$ y=x^2 \ \Leftrightarrow \ x = \sqrt{y} $$
Ist die x der Exponent, so ist die Umkehrfunktion der Logarithmus zur Basis.
$$ y = 2^x \ \Leftrightarrow \ x = \log_2{y} $$
Um den Logarithmus zu einer beliebigen Basis wie hier im Beispiel die 2 auszurechnen, helfen dann wieder andere Rechenregeln. Das soll als Beispiel dafür dienen, dass das Auflösen nach x eine geschickte Kombination von vielen mathematischen Methoden ist.