Teilt man eine ganze Zahl a durch ihre Anzahl von Stellen an Neunen, so ergibt sich in dezimaler Schreibweise ein unendlicher Dezimalbruch aus genau der Zahl a. Warum ist das so? Zum einen wird schnell klar, dass die Neunen im Nenner dieses Bruchs immer den größeren Betrag haben. Das Ergebnis ist also kleiner als 1 und fängt damit sicher mit 0,… an.
Beim schriftlichen Dividieren lernt man das meist so, dass man immer mit einer einzelnen Stelle im Ergebnis pro Schritt arbeitet; einfach weil so das kleine Einmaleins ausreichend ist. Aber man kann das auch mit mehreren Stellen auf ein Mal machen. Nehmen wir hier genau die Anzahl der Stellen unserer Zahlen vom Zähler und Nenner und damit die unserer Periode. Dann müssen wir auch passend viele Nullen dazu nehmen. Das bedeutet, mit der passenden 10er-Potenz malnehmen.
Bei jedem Schritt der schriftlichen Division rechnen wir also die Zahl im Zähler mal 10 hoch die Anzahl der Stellen minus die Zahl im Zähler mal die Neuner aus dem Nenner. Rechnet man das aus, so bleibt immer eben genau die Zahl aus dem Zähler übrig und das Spiel beginnt von Neuem.
0,45 = 45/99
45 : 99 = 0,45 45 45 ... -4455 ----- 45
45*102 – 45*99 = 45(100-99) = 45
Oder allgemein geschrieben für die Zahl a, hier oben also 45:
Als Erstes benötigen wir einen Wert k mit der Anzahl der Stellen, sodass wir damit rechnen können:
$ k = \lfloor \log_{10} a \rfloor + 1 $
Diese spezielle Klammer heißt untere Gauß-Klammer und bedeutet „Abrunden“. Mit den „Häkchen“ oben wäre es die obere Gauß-Klammer für das Aufrunden.
Kleine Aufgabe zum selber Überlegen: Warum haben wir hier nicht einfach aufgerundet?
In der Variable k haben wir so also die Anzahl der Stellen von a, im Beispiel oben also die 2. Die Neuner schreiben wir für die Allgemeingültigkeit als eins weniger als die Zehnerpotenz.
$ a * 10^k \, – \, a * (10^k \, – \, 1) = a (10^k \, – \, 10^k \, + \, 1) = a $
Wer mag, kann nun noch überall konsequent die 10 durch die Basis des Zahlensystems ersetzen. Dann gilt das ganze auch für beliebige andere Zahlenbasen.
Kleines „Funfact“ am Rande
Wer sich jetzt wundert, dass nach der Logik doch 9/9 = 0,9 sein müsste, aber 9/9 sich doch einfach zu 1 kürzen lässt: Ja, das ist auch beides richtig. Die Regeln für reelle Zahlen erfordern, dass zwischen zwei unterschiedlichen Zahlen beliebig viele weitere Zahlen liegen. Umgekehrt gesagt: Wenn es zwischen zwei Zahlen keine anderen gibt, dann sind die beiden Zahlen gleich. Und zwischen 0,9 und 1 gibt es keine anderen Zahlen, also sind 0,9 und 1 exakt das Gleiche. Klingt komisch, ist aber so. 😃
Weil diese beiden Zahlen gleich sind, kann man einen Bruch wie 1/7 auch anders ausrechnen:
0,9... : 7 = 0,142857...
-7
--
29
-28
---
19
-14
---
59
-56
---
39
-35
---
49
-49
---
0
Und die 142857 ist damit auch genau der Wert, um den man einen 7tel-Bruch erweitern muss, um einen 9er-Bruch zu erhalten.
1/7 = 0,142857 = 1/7 * 142857 / 142857 = 142857 / 999999
Das funktioniert auch bei Brüchen, die endlich sind, wie beispielsweise 1/4:
0,9 : 4 = 0,249
Hier gilt dann wieder, dass die Periode 9 identisch ist zur nächst höheren Ziffer plus 1. Hier wird also aus der 4 eine 5 und wir erhalten das erwartete Ergebnis 0,25.
Noch mehr dazu steht in Wikipedia.
Kompliziertere Fälle
In einem Bruch wie 5/18 = 0,27 steckt auch eine Periode drin. Aber der Fall ist etwas komplizierter, weil nicht alle Stellen periodisch sind. Hier hilft wieder der Trick, die Sache scheinbar erst mal komplizierter zu machen, um sie danach dann passend umformen zu können. Wir teilen den ganzen Bruch durch 10, um den Zähler um den Faktor 10 zu vergrößern. So können wir einen ganzzahligen Anteil aus dem Bruch herausziehen und wir trennen den nicht periodischen Anteil vom periodischen:
5/18 = (50/18)/10 = (2 14/18)/10 = (2 7/9)/10 = 1/5 + 7/90
Das 1/5 ist die 2 an der Zehntelstelle und 7/90 ist wie oben beschrieben die Periode 7 um eine Stelle nach rechts verschoben.
Noch ein Funfact
Quadriert man eine 1-er Periode, so erhält man eine aufsteigende „zählende“ Abfolge von Ziffern:
(1 / 9)2 = (0,1111 …)2 = 0,12345 …
Schreiben wir das als schriftliche Multiplikation, so sieht man schnell das Schema, was dahintersteckt:
0,111 … * 0,111 …
-------------------
01111111 …
0111111 …
011111 …
…
---------------
0,0123 …
Das Ganze funktioniert auch mit 1/99 , 1/999 usw.
Eine kleine Argumentationslücke haben wir hier noch: Die Zahlen sind „von links“ aufgeschrieben. Das bedeutet, wir haben den Übertrag nicht berücksichtigt. Es wird schnell klar, dass dieses hübsche Muster mit den aufsteigenden Ziffern bald durcheinander kommt, weil mehr als 9 Einsen aufsummiert werden und der Übertrag die Stellen verwürfelt. Könnte es auch sein, dass viel weiter rechts ein so großer Übertrag erzeugt wird, dass es uns die ganze Rechnung zunichtemacht? Zwei Überlegungen sprechen dagegen:
Zum einen können wir eine übersichtliche Anzahl von 1er-Stellen mit einer 2 am Ende ausrechnen, um so eine obere Abschätzung zu erhalten:
0,11111111122 ist garantiert größer als 0,111…2 und da funktioniert das Muster noch auf den ersten Stellen.
Eine etwas grundsätzlichere Überlegung ist, dass ein Übertrag auf seinem Weg nach links immer um Faktor 10 reduziert wird, weil die Stellen weiter links eben Faktor 10 mehr Wert haben. Mathematisch ist das wieder unser Logarithmus zur Basis 10. Das bedeutet, dass der Übertrag von einer Million aufsummierter Einsen sich nur maximal 6 Stellen weiter nach links auswirken kann. Wir sind also auf der sicheren Seite.
Rechnen wir wie oben 0.999… / 81 als schriftliche Division, so ergibt sich, dass 012345679 (also ohne die 8) die vollständige Periode ist. 1/81 ist also das gleiche wie 12345679/999999999.
