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Die äquivalenten Umformungen kennt man, um Formeln nach ihren einzelnen Variablen aufzulösen. Aber man kann sie auch anders nutzen. Hier multiplizieren wir das Ohm’sche Gesetz, um dann das Leistungsgesetz anwenden zu können. So erhalten wir die Kombination aus beiden.

Schreibt man das Ohm’sche Gesetz als Produkt, also sodass sich der Spannungsabfall als Produkt von fließendem Strom und Widerstand ergibt, so kann man die Formel einfach mit U und I multiplizieren.  So erhält man mit dem Wissen aus dem Leistungsgesetz P=U I die Formeln für die Kombination der beiden:

$$ \begin{align}
U &= R I & \vert * U \newline
U*U &= R \underbrace{I U} & \newline
U^2 &= R P \newline
\newline \newline
U &= R I & \vert * I \newline
\underbrace{U I} &= R I * I & \newline
P &= R I^2 &
\end{align} $$

Hier das ganze noch grafisch dargestellt, mit den Faktoren als Kanten von Rechtecken und den Produkten als Flächeninhalte:

Widerstand und LeistungDiese Art, mit Geometrie zu rechnen, haben schon die alten Griechen genutzt, lange vor der Erfindung der Analysis. Man kann sich sehr viele Zusammenhänge visuell verdeutlichen, die in Formeln aufgeschrieben doch eher unanschaulich sind.

Wichtig ist dabei, sich nicht auf die Präzision der grafischen Darstellung zu verlassen, sondern auf das, was dargestellt werden soll. So funktioniert diese Art, Mathematik zu betreiben, auch mit einfachen Skizzen.

Wichtig ist auch, sich nicht, an der „Unsymmetrie“ zu stören; dass also etwa das U mal außen und mal innen steht. Dieser Bruch der Symmetrie beschreibt eben genau die physikalische Realität.

Phasenwinkel

Manche fragen sich, ob die Phasenverschiebung $\varphi$ zwischen Spannung und Strom auch irgendwie geometrisch dargestellt werden kann. Man kennt ihn als Leistungsfaktor $\cos(\varphi)$ und weiß, dass er 0° betragen sollte für eine reine Wirkleistung. Aber kann man ihn auch als Winkel im geometrischen Sinne veranschaulichen?

Tatsächlich geht das sogar recht einfach: $\varphi$ ist in der hier beschriebenen Darstellung der Winkel, um den die Spannung U gegenüber der Senkrechten gekippt ist. Oben in der Grafik ist das Leistungsgesetz als Rechteck gezeichnet. Damit ist $\varphi = 0°$ und $\cos(\varphi) = 1$, weil die Spannung exakt vertikal steht.

Widerstand und Leistung

Der reelle Anteil der Leistung ist also die Fläche des Parallelogramms. Die Fläche eines Parallelogramms ist seine Grundlinie mal seine Höhe. Die Höhe ist hier $ U \cos(\varphi) $. Das macht man sich anschaulich klar, in dem man sich das in der Grafik von der Höhenlinie abgetrennte Dreieck nach rechts verschoben denkt.

Für  $\varphi = 90°$ wird $\cos(\varphi) = 0$ und das Parallelogramm ist zusammengeklappt und hat keine Fläche mehr. Es liegt also keine reelle Leistung mehr vor.

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Kategorien: Technik