Wenn man eine Einheit hat und möchte diese in eine andere umrechnen: Wie geht man dabei vor? Die Einheiten müssen gleich sein, damit das funktioniert. Genauer gesagt: Die Einheiten müssen die gleiche physikalische Größe beschreiben. Also kann man eine Geschwindigkeit von km/h in m/s umrechnen, aber nicht in eine Masse in kg oder eine Spannung in V.
Die Rechenoperation, die dazu geeignet ist, einen Wert mit einer Einheit in einen anderen umzurechnen, der ihm gleich ist, ist das Erweitern. Erweitern bedeutet, es wird mit einem Bruch multipliziert, in dem im Zähler und im Nenner das Gleiche steht. Er hat also den Wert 1. Die 1 ist das neutrale Element der Multiplikation, sie ändert also den Wert nicht. Alles bleibt wie gewünscht gleich.
Nehmen wir ein konkretes Beispiel. Wir wissen, dass wir auf unserer Stromrechnung gemäß unseres “Verbrauchs” in kWh zur Kasse gebeten werden. Das ist die übliche Einheit für elektrische Energie. Die Einheit ist praktisch, weil wir die Leistung unserer Geräte in Watt W kennen und auch in der Praxis gut etwas unter einer Betriebsdauer in Stunden h vorstellen können.
Was aber, wenn wir den Verbrauch in einer physikalischen Berechnung weiterverwenden wollen? Hier wird üblicherweise in Joule J gerechnet. Als Erstes sollte man dazu wissen, dass ein Joule ein Watt W mal eine Sekunde s ist. Ein Kilo k sind 1000, eine Stunde sind 60 Minuten, eine Minute sind 60 Sekunden. Also erweitert man die Einheit so lange, bis man alle Größen der gegebenen Einheit kürzen kann und nur die der gewünschten übrig bleiben. Dabei nutzen wir aus, dass die Multiplikation assoziativ und kommutativ ist, wir die einzelnen Terme also in beliebiger Reihenfolge betrachten können und auch vertauschen dürfen und damit auch über die verschiedenen Brüche hinweg kürzen können:
$$ kWh = kWh * \frac{1000}{k} * \frac {J}{Ws} * \frac {60 min}{h} * \frac {60 s}{min} $$
$$ = {\color{blue}\cancel{k}} {\color{green}\cancel{W}} {\color{red}\cancel{h}} * \frac{1000}{{\color{blue}\cancel{k}}} * \frac {J}{{\color{green}\cancel{W}} {\color{cyan}\cancel{s}}} * \frac {60 {\color{magenta}\cancel{min}}}{{\color{red}\cancel{h}}} * \frac {60 {\color{cyan}\cancel{s}}}{{\color{magenta}\cancel{min}}} $$
Nun sammeln wir alles ein, was übrig geblieben ist, rechnen die Zahlenwerte aus und benutzen die dekadischen Vorsilben, um die Zahlenwerte in einer bequemen Darstellung zu bekommen.
$$ = 1000*60*60\ J = 3.600.000\ J = 3{,}6*10^6\ J = 3{,}6\ MJ$$
Eine Kilowattstunde ist also das Gleiche wie 3,6 Megajoule.
Genauso kann man vorgehen, um km/h in m/s umzurechnen:
$$\frac{km}{h} = \frac{km}{h} * \frac{1000}{k}* \frac{h}{3600s} = \frac{1}{3{,}6} m/s $$
Zurückübersetzt in die Praxis heißt das: Wenn ich mit dem Auto eine Geschwindigkeit von 80 km pro Stunde fahre, bedeutet das, dass eine unaufmerksame Sekunde als Fahrer gut 80/3,6=22 Meter “Blindflug” bedeutet.
Das Schema ist also immer das gleiche:
- verstehen, wie die gegebenen und die gewünschten Einheiten zusammenhängen
- passend erweitern
- passend “diagonal” über die Brüche hinweg kürzen
- das, was übrig bleibt, zusammenfassen
Beispiele
Hier noch einige Beispiele für Umrechnungen.
$$ 1 = \frac{735,5 W}{PS} = \frac{4,1868 J}{cal} = \frac{1055 J}{BTU} = \frac{J}{N m} = \frac{As}{C} = \frac{W}{VA}$$
Bei Nm muss beachtet werden, dass das nur dann gilt, wenn die Kraft in Newton N und die Strecke in Meter m in die selbe Richtung wirken. Beim Drehmoment stehen die beiden senkrecht aufeinander. Beim Drehmoment gilt dieser Zusammenhang also nicht. Ebenso gilt W=VA nur dann wenn Strom und Spannung in Phase sind, also bei $\cos \varphi=1$ und Spannung und Strom in Effektivwerten angegeben sind. In obiger Gleichung stehen nur Einheiten. Das C steht hier also für die Ladung in Coulomb. Und weil der Kehrwert von 1 wieder 1 ist, kann man von jedem Term auch den Kehrwert nehmen, wo das nützlich ist.