Gehen wir von einem perfekten Rundstrahler aus, den wir auch einen isotropen Strahler nennen. Dieser hat eine kugelförmige Richtcharakteristik und einen Gewinn G von 1 oder 0 dBi.
Mathematisch-Geometrisch bedeutet dies, dass die Sendeleistung P gleichmäßig auf die Oberfläche A einer Kugel mit Radius 1 verteilt wird. Das Integral („Summe“) der Sendeleistung über dieser Kugel soll also 1 sein, so dass wir die Werte als normierte Vorfaktoren für die weitere Rechnung nutzen können. Dazu teilen wir das Integral durch den bekannten Vorfaktor $4 \pi$ von der Oberfläche einer Kugel.
Da wir als Diagramm immer eine einheitliche Größe wünschen, multiplizieren wir das Integral noch mit dem Gewinnfaktor.
$$ {G \over {4 \pi}} \oint_A P dA = 1 $$
Wichtig ist zu verstehen, dass hier nicht über die Oberfläche des Strahlungsdiagramms integriert wird, sondern über die Strahlungsintensität in jede Raumrichtung. Das ist beim isotropen Strahler nun genau das Gleiche.
Nehmen wir als erstes einfaches Beispiel also unseren isotropen Strahler, so integrieren wir die Oberfläche einer Kugel mit Radius 1 und erhalten $ 4\pi $. Das wird durch $ 4 \pi $ geteilt und mit dem Gewinn 1 multipliziert und es ergibt sich 1.
Als nächstes Beispiel nehmen wir den bekannten „Donut“ vom Strahlungsdiagramm des ungestörten Dipol. Die Einschnürungen genau an den Enden des Dipols sind nun rechnerisch beim Integrieren Zahlenwerte kleiner als Eins. Im gleichen Masse wie das Integral kleiner wird, steigt der Gewinn G.
So kann man mathematisch beschreiben, wie eine Richtantenne genau durch die Richtungen, in die sie nicht abstrahlt, den Gewinn in die Hauptrichtung erhöht.
Die gewohnten Richtdiagramme sind schwer in diese Rechnung umzusetzen, weil sie den azimutalen Gewinn und den Elevationsgewinn getrennt beschreiben. Man muss sich dazu die „Keulen“ dreidimensional vorstellen. Außerdem muss man beim Vergleichen dieser Formel hier mit den üblichen Diagrammen noch beachten, dass die Diagramme in Dezibel gezeichnet sind. Die „Einschnürungen“ wirken also nicht so extrem, wie sie linear als Faktoren betrachtet wären.
neuer Ansatz
Üblicherweise betrachten wir den Antennengewinn getrennt für Azimut und Elevation. Fassen wir die beiden zweidimensionalen Keulen der grafischen Darstellung zu einer dreidimensionalen Darstellung zusammen, so können wir den Gewinn auf die ganze isotrope Kugel als skalare Werte auf der Kugeloberfläche darstellen. Anders gesagt: Wir erhalten eine skalare Funktion mit sphärischen Koordinaten. Im einfachsten Fall des isotropen Strahlers ist die Funktion konstant Eins.
Betrachten wir nun das Integral über diese Funktion, so erhalten wir ein Maß für die abgestrahlte Leistung. Für eine sinnvolle Skalierung sollte diese auch Eins betragen. Da das Integral über eine Kugel einfach ihre Oberfläche ist, erhalten wir für die Einheitskugel für das Integral also $4 \pi$. Damit insgesamt Eins herauskommt, teilen wir durch diesen Wert. Die Gleichung für den isotropen Strahler sieht also so aus:
$${1 \over 4 \pi } \int_F 1 dF = 1$$
Betrachten wir ein Diagramm einer Antenne mit Gewinn, so steht im Integral die Funktion S(F), die die Abstrahlung der Antenne für jeden Raumwinkel beschreibt und als Vorfaktor kommt noch der Gewinn über den isotropen Strahler $G_i$ hinzu. Dabei ist zu beachten, dass die Funktion S so skaliert ist, dass ihr Maximum 1 beträgt.
$${ G_i \over 4 \pi } \int_F S(F) dF = 1$$
Auf diese Weise haben wir einen mathematischen Zusammenhang hergestellt zwischen dem Strahlungsdiagramm und dem Gewinn. Eine Antenne mit einer schlanken Hauptkeule hat im Diagramm viele Raumwinkel mit niedrigen Werten. Zum Ausgleich muss also der Gewinn hoch sein. Umgekehrt kann eine Antenne mit einer breiten Abstrahlung keinen hohen Gewinn haben.