Welche unendlichen Zahlenmengen sind in der “normalen” Mathematik gebräuchlich? Hier eine Zusammenstellung. Das einschließlich bezieht sich immer auf die Menge davor.
Natürliche Zahlen
Zahlen in denen abgezählt werden kann; ob die Null dazu gehört ist Definitionssache.
$ 0\ ;\ 1\ ; \ 2\ ; 3 \in \mathbb{N} $
Ganze Zahlen
Einschließlich der negativen Werte zu den Natürlichen Zahlen. Die Null gehört hier definitiv dazu.
$ -3\ ;\ -2\ ;\ -1\ ;\ 0\ ;\ 1\ ;\ 2\ ;\ 3 \in \mathbb{Z} $
Rationale Zahlen
Einschließlich der Verhältnisse zweier Ganzer Zahlen, also Brüche; damit gehören auch die periodischen Dezimalbrüche dazu.
$ 1/2\ ;\ 3/4\ ;\ 345/999\ ;\ 0\ ;\ 2 \in \mathbb{Q} $
Algebraische Zahlen
Einschließlich der Nullstellen von Polynomen.
$\begin{align}
x^2-2=0 \\
x=\sqrt{2} \\
\sqrt{2} \in \mathbb{A}
\end{align}$
Reelle Zahlen
Alle anderen Werte auf der Zahlengerade; einschließlich unendlicher Dezimalzahlen. Beachte dass periodische Dezimalzahlen Rationale Zahlen sind.
$ \pi \in \mathbb{R} $
Übersicht
Die größere Menge umfasst immer die kleineren davor:
$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{A} \subset \mathbb{R} $
Andere Zahlenmengen
Irrationale Zahlen
Reelle Zahlen, die sich nicht als Rationale Zahlen schreiben lassen.
$ \sqrt{2} \in \mathbb{R } \setminus \mathbb{Q }$
Transzendente Zahlen
Reelle Zahlen, die sich nicht als Algebraische Zahlen schreiben lassen.
$ \pi \in \mathbb{R } \setminus \mathbb{A }$
Komplexe Zahlen
Diese bestehen aus der Summe einer Reellen Zahl x; die auch als reell betrachtet wird und einer zweiten Reellen Zahl y; die mit der imaginären Einheit i multipliziert wird und als imaginär betrachtet wird.
$\begin{align}
x\ ;\ y \in \mathbb{R} \\
z = x + i y \\
z \in \mathbb{C}
\end{align}$