Welche unendlichen Zahlenmengen sind in der “normalen” Mathematik gebräuchlich? Hier eine Zusammenstellung. Das einschließlich bezieht sich immer auf die Menge davor.
Natürliche Zahlen
Zahlen, in denen abgezählt werden kann; ob die Null dazu gehört, ist Definitionssache.
$$ 0\ ;\ 1\ ; \ 2\ ; 3 \in \mathbb{N} $$
Ganze Zahlen
Einschließlich der negativen Werte zu den Natürlichen Zahlen. Die Null gehört hier definitiv dazu.
$$ -3\ ;\ -2\ ;\ -1\ ;\ 0\ ;\ 1\ ;\ 2\ ;\ 3 \in \mathbb{Z} $$
Rationale Zahlen
Einschließlich der Verhältnisse zweier Ganzer Zahlen, also Brüche; damit gehören Dezimalbrüche einschließlich der periodischen dazu.
$$ 1/2\ ;\ 3/4\ ;\ 345/999\ ;\ 2 \ ;\ 2{,}34 \ \in \mathbb{Q} $$
Algebraische Zahlen
Einschließlich der Nullstellen von Polynomen.
$$\begin{align}
x^2-2 & =0 \\
x & = \sqrt{2} \\
\sqrt{2} & \in \mathbb{A}
\end{align}$$
Reelle Zahlen
Alle anderen Werte auf der Zahlengeraden; einschließlich unendlicher Dezimalzahlen. Beachte, dass periodische Dezimalzahlen Rationale Zahlen sind.
$$ \pi \in \mathbb{R} $$
Beim Programmieren sollte man beachten, dass real oder float mathematisch betrachtet eben nicht reell sind, sondern rational. Die numerische Darstellung erlaubt keine echte Darstellung reeller Zahlen; egal ob aufgeschrieben oder im Computer
Übersicht
Die größere Menge umfasst immer die Kleineren davor:
$$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{A} \subset \mathbb{R} $$
Andere Zahlenmengen
Irrationale Zahlen
Reelle Zahlen, die sich nicht als Rationale Zahlen schreiben lassen.
$$ \sqrt{2} \in \mathbb{R } \setminus \mathbb{Q }$$
Transzendente Zahlen
Reelle Zahlen, die sich nicht als Algebraische Zahlen schreiben lassen.
$$ \pi \in \mathbb{R } \setminus \mathbb{A }$$
Komplexe Zahlen
Diese bestehen aus der Summe einer Reellen Zahl x; die auch als reell betrachtet wird, und einer zweiten Reellen Zahl y; die mit der imaginären Einheit i multipliziert wird und als imaginär betrachtet wird.
$$\begin{align}
x\ ;\ y & \in \mathbb{R} \\
i^2 & = -1 \\
z & = x + i y \\
z & \in \mathbb{C}
\end{align}$$
Je nach Kontext muss beachtet werden, dass das i wie eine Zahl betrachtet werden kann wie bei der Herleitung der Schwingkreisformel oder auch als Name der imaginären Koordinate wie bei der Berechnung des Betrags einer komplexen Zahl.