Die Null ist oft ein Sonderfall. Mathematisch ist sie das neutrale Element der Addition, weil Plus oder Minus Null die Zahl nicht ändern.
$$ a + 0 = a $$
Bei der Multiplikation hat Mal Null immer das Ergebnis Null.
$$ a * 0 = 0 $$
Und bei der Division gilt, dass Null als Teiler nicht definiert ist. Als Grenzwert betrachtet wird das Ergebnis immer größer und hat dann schließlich unendlich ∞ als Grenzwert.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty $$
Die Schreibweise mit dem Limes lim (lateinisch für Grenze) bedeutet, dass die Variable x der Null immer näher rückt. Auf diese Weise umgeht man das Problem, dass sich die Aufgabe nicht direkt ausrechnen lässt.
Mit der Null im Zähler wird es noch absurder, weil Null geteilt durch eine beliebige Zahl a immer Null als Ergebnis haben sollte.
$$ 0 \ / \ a = 0 $$
Im mathematischen Teilgebiet der Algebra kann eine Menge von Zahlen und eine Rechenoperation dazu als Gruppe bezeichnet werden. Die reellen Zahlen und die Addition sind eine solche Gruppe. Eine Gruppe setzt voraus, dass jede Rechenoperation sich umkehren lässt. Man sagt, jedes Element muss ein Inverses haben und die Verknüpfung zwischen einem Element und seinem Inversen muss das neutrale Element ergeben. Bei der Multiplikation hat die Null aber kein Inverses. Daher muss bei der Gruppe der Multiplikation die Null ausgenommen und gesondert behandelt werden. Eine anschaulichere Erklärung steht unten bei Nachtrag.
Ebenso ist Null hoch Null 00 schwierig. Null hoch eine beliebige Zahl sollte immer Null sein. Eine beliebige Zahl hoch Null dagegen ist immer 1.
In der Hochfrequenztechnik beschreibt die Frequenz Null den Gleichstrom, also eben genau keine Frequenz.
Historisch betrachtet war die Null auch ein Sonderfall, weil man Zahlen ursprünglich dazu nutzte, um Dinge zu bezeichnen, die auch da waren. Es gibt etwa bei den römischen Zahlen kein Symbol für Null. Auch heute sollte man bei den natürlichen Zahlen immer dazu sagen, ob die Null dazugehören soll oder nicht.
Beim Programmieren und speziell bei Datenbanken muss man unterscheiden zwischen „keine Daten“, was oft als NULL oder NIL bezeichnet wird, und eben der Zahl 0. Bei Skriptsprachen mit automatischer Konvertierung von Datentypen kommt bei dem Thema noch der leere String “” dazu, also der mit Länge 0.
Beim Rechnen mit Fließkommazahlen gibt es noch den Spezialfall, dass durch eine so große Zahl geteilt wird, dass das Ergebnis nicht mehr von 0 unterschieden werden kann. Sehr strenge Sprachen werfen dann einen Fehler, der sich oft Underflow nennt. Oft wird der Wert aber auch einfach auf 0 gesetzt, sodass das Problem übersehen wird.
Die Null ist eben speziell.
Nachtrag zur Multiplikation
Das Beispiel mit der Gruppe oben ist ziemlich abstrakt. Schauen wir uns das etwas praktischer an: Wenn ich die Multiplikation von a und b auffasse als die Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks mit Kantenlängen a und b, dann kann ich das Ergebnis für alle Werte außer Null wieder eindeutig in Kantenlängen zurückrechnen. Nehmen wir als Beispiel 3 x 5 = 15. Wenn ich die 15 wieder durch 3 oder 5 teile, dann erhalte ich jeweils den anderen Wert. Mache ich das aber mit 0 x 5 = 0, dann gibt es keinen Wert, mit dem ich die Ergebnis-Null multiplizieren oder teilen könnte, um wieder die 5 zu erhalten. Der Flächeninhalt und die Kantenlänge Null verhält sich also anders als alle anderen.
