Das Smith-Diagramm sieht erst mal sehr ungewohnt aus. Wir erwarten meist rechtwinklige Koordinatensysteme. Bevor wir uns das genauer anschauen, eine kleine Wiederholung und Zusammenfassung:
Induktivitäten und Kapazitäten haben frequenzabhängige Blindwiderstände. Diese werden als imaginäre Zahlen behandelt. Induktivitäten haben dabei die positiven Werte, Kapazitäten die negativen. In Resonanz addieren sich diese zu Null. Die Impedanz einer Antenne enthält einen Realanteil. Dieser repräsentiert den Lastwiderstand, mit dem die Antenne die elektromagnetischen Wellen erzeugt, mit denen wir dann letztendlich funken. Für optimale Anpassung soll dieser Lastwiderstand dem Quellwiderstand des Senders entsprechen.
Die Impedanz Z ist die vektorielle Summe von R, XL und XC. Grafisch hängt man die drei dazu hintereinander. Die Veränderung mit der Frequenz f ist eine sogenannte parametrische Darstellung mit f als Parameter und wird Ortskurve genannt.
Als Diagramm in der gewohnten Darstellung als Ortskurve sehen wir das nun hier. In der Praxis stellt man jedoch fest, dass wir von der möglichen Fläche in dieser Darstellung nur wenig benötigen: Es kommen keine negativen reellen Widerstände vor, also fällt die ganze linke Seite weg. Und sehr große Werte interessieren uns auch wenig. Unendlich groß hat hier praktisch die gleiche Bedeutung wie Null, denn es ist sozusagen gleich schlimm, ob wir die Quelle an einer offenen Last betreiben oder an einem Kurzschluss. Und dann ist es bei sehr großen Werten auch egal, ob diese reell oder imaginär sind. Schließlich wäre es noch gut, wenn in dem Diagramm die gewünschte Impedanz gleich auf den ersten Blick ersichtlich wäre.
Der amerikanische HF-Ingenieur Phillip Hagar Smith hatte 1937 die Idee, das alles so in ein Diagramm einzuzeichnen, dass alle diese Aspekte auf einen Blick ersichtlich sind. Herausgekommen ist ein kreisrundes Diagramm. Genau in der Mitte ist die gewünschte reelle Impedanz R0. Nach links die zu niedrigen Werte, nach rechts die zu hohen, oben die induktiven Anteile XL und unten die kapazitiven XC. Ganz rechts finden wir für alle Anteile unendlich ∞ und ganz links den Nullpunkt.
Der Vorteil ist nun, dass egal welche Werte die Antenne annimmt, man sie immer in das gleiche Diagramm einzeichnen kann. Es gibt keine „zu großen“ Werte. So lassen sich verschiedene Messungen gut vergleichen.
Eine Schwäche all dieser Impedanz-Diagramme ist, dass man die Frequenz nicht gut ablesen kann. Man wird also immer genau in die Beschreibung des Diagramms schauen müssen, um zu erkennen, welcher Frequenzbereich dargestellt ist. Für gewöhnlich wird man Anfang und Ende der Ortskurve mit der Frequenz beschriften und dazu vielleicht noch ein paar markante Punkte, eben z. B. den imaginären Nulldurchgang, also die Resonanz.
Die Ortskurve ist also wie oben schon erwähnt ein Beispiel für eine parametrische Darstellung mit der Frequenz als Parameter.
Hier sieht man jetzt ein vereinfachtes, erfundenes Smith-Diagramm. Man sieht in Blau die Ortskurve einer Antenne für das 80-m-Band. Das SWR ist bei jeder Frequenz jeweils der Abstand von der Mitte. Man wird also einen recht flachen Verlauf des SWR messen. Im Smith-Diagramm sieht man jedoch sehr deutlich, dass sich im Komplexen doch einiges tut bei dieser Antenne. Das Smith-Diagramm hilft also in der Praxis des Amateurfunks Sendeanlagen zu beschreiben und zu optimieren.
Eine perfekte Antenne oder ein perfekter Schwingkreis mit einem reellen Serienwiderstand wird eine Ortskurve haben, die von den niedrigen Frequenzen rechts bei Unendlich beginnt und dann durch den unteren Bereich verläuft, weil der hohe imaginäre Widerstand des Kondensators überwiegt. Gegen die Resonanzfrequenz steigt die Kurve an und schneidet die reelle Achse genau in der Mitte. Weiter verläuft sie dann in einem Kreisbogen durch die obere Hälfte, weil nun der hohe imaginäre Widerstand der Induktivität überwiegt. Der Kreis schließt sich dann wieder rechts bei Unendlich gegen sehr hohe Frequenzen.
In der Praxis erhält man bei einem zu großen Frequenzumfang einen wilden Knoten aus Kreisen, weil die meisten realen Aufbauten eben nicht nur eine Resonanzfrequenz haben. Es empfiehlt sich also, nur den Frequenzbereich darzustellen, der einen wirklich interessiert, oder ggf. stückweise vorzugehen.
Wie man im Artikel auf Wikipedia schön sieht, formen die reellen Werte Kreise, die mit dem rechten Rand bei Unendlich zusammenliegen. Die imaginären Werte sind Teilkreise, die wie Grasbüschel am rechten Rand zusammenlaufen. Mathematisch interessant ist dabei noch, dass damit die reelle und die imaginäre Achse lokal immer noch überall senkrecht aufeinanderstehen. Weil das Smith-Diagramm eben nicht nur anschaulich und „passend“ entworfen wurde, sondern auch mathematisch genau konstruiert wurde, lassen sich auch viele Werte und die dafür nötigen Korrekturen aus dem Diagramm ablesen.
Wer sich mehr für den mathematischen Hintergrund interessiert: Das Smith-Diagramm ist eine spezielle Form der Möbius-Transformation. Diese begegnet uns auch schon beim “normalen” SWR. Man kann nun noch viel über dieses Diagramm sagen. Ganze Bücher wurden darüber geschrieben. Zur Vertiefung des Themas empfehle ich diese Bücher. Ich verlinke hier kein konkretes, aber hier sind einschlägige Verlage.
- Praktisch ausprobieren kann man das auf RF Mentor.
- Eine Anpassung direkt als Schaltplan bekommt man mit der Applikation PASAN, die unter Linux in Wine läuft.
- Noch ein anderes Tool ist SimNEC.
Zum Abschluss noch ein Beispiel, wie man mit dem Smith-Diagramm arbeitet, um die Anpassung mit einem LC-Tiefpass zu erreichen:
- Ermittle mit einer Messung mit dem VNA oder einer Simulation mit NEC die komplexe Impedanz der Antenne am Speisepunkt.
- Trage diesen Wert in das Smith-Diagramm ein.
- Sind wir niedriger als die gewünschte Impedanz von 50 Ω?
- Ermittle die Serien-Induktivität, die die Impedanz auf den Kreis bringt, der dem Leitwert von 50 Ω entspricht (linker lila Hilfskreis in PASAN).
- Ermittle die Parallel-Kapazität, die die Impedanz auf reelle 50 Ω bringt.
- Sind wir höher als die gewünschte Impedanz von 50 Ω?
- Ermittle die Parallel-Kapazität, die die Impedanz auf den Kreis mit dem Widerstand von 50 Ω bringt (rechter Hilfskreis).
- Ermittle die Serien-Induktivität, die die Impedanz auf reelle 50 Ω bringt.
Der Unterschied ist also effektiv nur, ob die Kapazität auf der Seite der Antenne oder der des Speisekabels ist. Das Smith-Diagramm macht uns dabei anschaulich deutlich, was in den beiden Fällen mit der Impedanz passiert. Das Programm PASAN ist dafür gut geeignet.
Interessant ist dabei noch, dass die Anpassung selbst auch genauso gut mit einem Hochpass funktioniert. Ich kann also ebenso gut eine Induktivität parallel schalten und eine Kapazität in Serie. In der Praxis ist aber meist die Wirkung des Hochpass gewünscht als Beitrag zur Unterdrückung von Oberwellen.
Grenzen
Zur Anpassung werden auch gerne Transformatoren nach Art eines Balun eingesetzt. Auch diese sorgen dafür, dass die Impedanzen im gesamten System zusammenpassen. Das Smith-Diagramm ist aber nicht gut darin, diese Anpassung darzustellen. Der Grund dafür ist, dass die Zielimpedanz im Diagramm die Mitte ist. Mit einem Trafo ändert sich diese Zielimpedanz aber. So toll das Smith-Diagramm ist, wenn man es erst mal verstanden hat: “Alles” kann man auch damit nicht darstellen.