Für viele sind der Sinus und der Kosinus halt irgendwelche Funktionen, die man so benutzt, wie es die Formel halt erfordert. Aber sie beschreiben über die Geometrie auch Aspekte der messbaren Realität.
Nehmen wir etwa den 10-dB-Öffnungswinkel einer Richtantenne. Dieser wird üblicherweise im Gradmaß angegeben und gibt mir an, wie breit die „Keule“ der Antenne in Hauptstrahlrichtung ist. Nun könnte man sich fragen, wie breit in Metern das Signal beim Empfänger ist. Damit erhält man ein Gefühl dafür, wie genau die Antennen ausgerichtet und positioniert werden müssen, oder umgekehrt, wie empfindlich der Aufbau gegen Störungen ist. Man könnte sich eine maßstäbliche Planskizze machen und das Ganze mit einem Geodreieck ausmessen. Aber mit einem Taschenrechner geht das viel einfacher. Zuerst stellt man den Taschenrechner auf das Gradmaß (meist DEG genannt) ein. Dann berechnet man den Sinus des Öffnungswinkels und multipliziert das mit der Entfernung.
Der Grund, warum das funktioniert, ist, dass der Sinus mir eben genau die absolute Breite der Keule im normierten Abstand 1 des Einheitskreises berechnet. Und der Strahlensatz sorgt dafür, dass sich diese normierte Breite linear einfach durch Multiplizieren mit der Entfernung zur Breite beim Empfänger umrechnen lässt.
Nun sind diese Winkel bei Richtantennen oft klein und die Entfernungen in Metern groß. Die Taylor-Entwicklung des Sinus besagt, dass der Sinus für kleine Entwicklung im Bogenmaß näherungsweise gleich dem Winkel ist. Auch das kann man sich geometrisch klar machen. Der Sinus ist die Höhe im rechtwinkligen Dreieck und das Bogenmaß ist die Strecke auf dem Kreisbogen. Für kleine Winkel sind die beiden eben fast gleich.
Wenn man es genau nimmt, müsste man die Breite der Keule mit dem Sinus des halben Winkels rechnen und das Ergebnis wieder verdoppeln. Aber auch das ergibt mit der Näherung für kleine Winkel das Gleiche.
Und wenn es praktisch ist, findet man noch eine Näherung: Für kleine Winkel ist die Hypothenuse ähnlich lang wie die liegende Kathete der Entfernung, also dem Kosinus. Bei den Funktionen bedeutet das: Man kann anstelle des Sinus auch den Tangens nehmen. Auch das ergibt sich rechnerisch aus der Taylor-Entwicklung des Tangens.
Hier noch ein konkretes einfaches Beispiel: Eine Richtantenne habe einen Öffnungswinkel von $ \alpha = 1°$ und die Entfernung beträgt $ d = 10 km $. Damit beträgt die Breite b der Keule beim Empfänger:
$$ b = \sin 1° \ * \ 10.000 m \approx 175 m $$
Hätte man die Sinusnäherung genutzt, ergibt sich:
$$ b = 1° \ * \ \pi / 180° \ * \ 10.000 m \approx 175 m $$
Nimmt man den Tangens ergibt sich ebenfalls das Gleiche:
$$ b = \tan 1° \ * \ 10.000 m \approx 175 m $$
Es ist also bei kleinen Winkeln in der Praxis egal, wie man das rechnet.
Wenn man Pi allerdings zu 3 abschätzt, ist der Fehler größer:
$$ b = 1° \ * \ 3/ 180° \ * \ 10.000 m \approx 1 / 60 \ * \ 10.000 m \approx 167 m $$
Wenn es hier auf den Meter ankommt, sollte man also wenigstens $ \pi \approx 3{,}14 $ als Näherung nutzen.
Wer gern auswendig lernt, kann sich also merken, dass für kleine Öffnungswinkel gilt:
Pro Grad und km beträgt die Breite der Keule gut 17 m.
Als Übungsaufgabe empfehle ich, das mit größeren Winkeln durchzurechnen, um ein Gefühl dafür zu erhalten, wie sich der Fehler entwickelt.
