Wenn Zusammenhänge zwischen Variablen sich einfach nur durch Addition und Multiplikation beschreiben lassen, spricht man von einem linearen Gleichungssystem. Beschreiben wir hier ein einfaches Beispiel.
OM Hans und OM Klaus haben auf dem Flohmarkt 2 Typen Transistoren A und B ergattert. Hans weiß noch, dass er für 2 Stück von A und 3 Stück von B insgesamt 7 € bezahlt hat. Klaus hat für 4 A und 8 B insgesamt 16 € bezahlt. Da sie nicht verhandelt haben, ist der rechnerische Zusammenhang linear. Beim Kaffee treffen sie OM Martin, der sich auch für diese Transistoren interessiert. Er möchte aber vorher wissen, was die Typen denn nun einzeln gekostet haben. Das wissen die beiden aber nicht mehr.
Die Information des Einzelpreises nennen wir passend zu den Typen der Transistoren A und B. Also ergibt sich 2A + 3B = 7 € und 4A + 8B = 16 €. A und B sind also die Variablen, die wir hier berechnen möchten. Nur die Zahlen schreibt man ein spezielles Rechenschema, welches man Matrix nennt.
$$
\left(
\begin{matrix}
2&3 \\ 4&8
\end{matrix}
\left|
\begin{matrix}
7 \\ 16
\end{matrix}
\right)
\right.
$$
Jede Spalte repräsentiert eine der Variablen. Das ist wichtig zu beachten, wenn es mal mehr Variablen sind und besonders wenn Werte Null sind. Hier steht die erste Spalte für A und die zweite für B. In der rechten Spalte steht der Gesamtpreis. Hier dürfen keine zu berechnenden Variablen stehen.
Dann wendet man ein Schema an, welches die Matrix in eine Standardform bringt, aus der wir das gewünschte Ergebnis direkt ablesen können.
Zuerst teilt man die erste Zeile durch den Wert der ersten Spalte. Dies ist eine äquivalente Umformung und es gelten die gewohnten Regeln: Eine Umformung, die links und rechts vom Gleichheitszeichen gemacht wird, ändert die Gleichung nicht. Das Gleichheitszeichen ist in der Matrix der senkrechte Strich.
Nachdem wir die erste Zeile umgeformt haben, steht in ihrer ersten Spalte eine 1. Als Nächstes ziehen wir in allen anderen Zeilen die erste so oft ab, wie es der ersten Spalte der Zeile entspricht. In unserem Beispiel wird also die neue erste Zeile 4 Mal von der zweiten abgezogen. Auch diese Subtraktion einer Gleichung von einer anderen ist eine äquivalente Umformung, die die Aussage der Gleichung nicht ändert. Logisch ausgedrückt: Auch die Addition und Subtraktion von zweimal wahr ist immer noch wahr.
$$
\left(
\begin{matrix}
1&1{,}5 \\ 0&2
\end{matrix}
\left|
\begin{matrix}
3{,}5 \\ 2
\end{matrix}
\right)
\right.
$$
Gemäß dem Schema wird nun jede Zeile n durch ihre Spalte n geteilt. So ergibt sich hier eine 1. Dann wird diese Zeile von jeder anderen Zeile passend abgezogen, sodass sich dort eine 0 ergibt. Jetzt hat jede Zeile n die Spalte n für sich allein. Konkret wird die zweite Zeile durch den Wert der zweiten Stelle, also 2, geteilt, sodass wir hier eine 1 erhalten. Danach wird Zeile 2 anderthalbmal von der Ersten abgezogen.
$$
\left(
\begin{matrix}
1&0 \\ 0&1
\end{matrix}
\left|
\begin{matrix}
2 \\ 1
\end{matrix}
\right)
\right.
$$
Am Ende erhalten wir so eine sogenannte Diagonalmatrix mit lauter Einsen. Übersetzen wir das wieder in unsere ursprünglichen Gleichungen, so erhalten wir 1A + 0B=2 € also A=2 € und entsprechend B=1 €. Setzen wir das zur Kontrolle in die Einkäufe von Hans und Klaus ein, erhalten wir deren Rechnungsbetrag. Martin weiß jetzt also wie gewünscht, was die Transistoren einzeln kosten.
Dieses Verfahren nennt sich Elimination nach Gauß. Je nach den zu betrachtenden Zahlenwerten müssen weitere Dinge beachtet werden. So können Elemente schon vorher Null sein. Dann kann man einfach die Zeilen vertauschen. Auch, um sich die Arbeit leichter zu machen, kann dies sinnvoll sein.
Nach dem gleichen Schema lassen sich auch größere Gleichungssysteme lösen. Ein wichtiges Grundprinzip ist, dass man so viele Gleichungen benötigt, wie man auch Variablen lösen möchte. Hat man weniger Gleichungen als Variablen, so ist das Gleichungssystem unterbestimmt und die Lösung ist wieder eine Gleichung, die einen Zusammenhang der Variablen angibt, für den sich das System lösen lässt. Hat man mehr Gleichungen als Variablen, so ist das System überbestimmt und es gibt entweder keine Lösung, oder eine Gleichung reduziert sich durch das Schema komplett zu null. Man sagt, sie ist linear abhängig von den anderen.
Hätte Martin z. B. nur Hans getroffen, so hätte sich ergeben, dass aus 2A + 3B = 7 € folgt:
$$A = {{7-3B}\over 2}$$
Das ist in diesem Fall ein unbefriedigendes Ergebnis. Manchmal kann es dann nützlich sein, das System mit einer plausiblen Näherung zu reduzieren. Hier wäre z. B. naheliegend anzunehmen, dass die Transistoren ungefähr gleich viel kosten; also X=A=B. Damit ergibt sich 5X=7€ und damit dass ein Transistor 1,40 € gekostet hat; ein als Schätzung zumindest brauchbarer Wert. In anderen Fällen kann eine solche Gleichung als Ergebnis aber auch sinnvoll und nützlich sein. Das kommt auf die Aufgabe an.
Peter hat für 2A und 2B insgesamt 6 € bezahlt. Die Zeile von Peter wird im Rechenschema komplett herausfallen. Diese ist linear von den ersten beiden abhängig.
Wenn dagegen Michael nun auch noch dazu kommt und behauptet, er habe für 15A und 15B insgesamt 40 € bezahlt, wird das Gleichungssystem nicht aufgehen. Vermutlich, weil ihm der Händler einen Mengenrabatt gewährt hat. Mathematisch ist das System mit Michael überbestimmt und hat keine Lösung.
