Beim Rechnen kommt es oft vor, dass wir eine Formel in einer Form haben, sie aber in einer anderen Form brauchen. Man sagt dann “Die Formel muss nach x aufgelöst werden”, wobei das x die Variable ist, die am Ende alleine auf der linken Seite der Formel stehen soll. In der Mathematik ist Links eine Konvention, die nicht zwingend eingehalten werden muss. Beim Programmieren sprechen wir bei einer Zuweisung vom L-Value. Hier muss das zwingend eine (1!) Variable sein. Der L-Value ist die Variable, der ein Wert zugewiesen wird.
Die dafür notwendigen Umformungen nennen wir äquivalent. Um in der Formelschreibweise die Äquivalenz auszudrücken, schreiben wir $ \Longleftrightarrow $. Betrachten wir ein konkretes Beispiel:
$$ U = R I \ \ \Longleftrightarrow \ \ R = {U \over I }$$
Beachte den Unterschied zwischen der Gleichheit von linker und rechter Seite einer Formel und der Äquivalenz zwischen kompletten Formeln.
Um von der linken zur rechten Formel zu kommen, wenden wir äquivalente Umformungen an. Das sind Rechenoperationen, die die Kernaussage der Formel nicht verändern. Das erreicht man dadurch, dass man links und rechts vom Gleichheitszeichen das Gleiche macht. Das, was man macht, kann man rechts neben der Formel hinter einem senkrechten Strich schreiben. Wie kommt man nun darauf, was man machen sollte? Dazu betrachtet man die Ausgangsformel so, als ob der gewünschte L-Value von “Zwiebelschichten” von mathematischen Operationen eingehüllt ist. Man arbeitet sich dann von aussen nach innen über die Umkehrfunktionen an den “Kern” heran. Hier haben wir es sehr einfach: Das gewünschte R hat nur eine Operation: Die Multiplikation mit I. Die Umkehrung der Multiplikation ist die Division. Wir teilen also beide Seiten durch I.
$$ \begin{align}
U &= R I \ \ \ \ \bigg \vert /I \\
\Longleftrightarrow \ \ {U \over I } \ &= R {I \over I }
\end{align} $$
Was haben wir erreicht? Die Formel sieht komplizierter aus als vorher. Betrachten wir die einzelnen Terme getrennt. Wir sehen auf der rechten Seite ein I im Zähler und eins im Nenner. Das kann man kürzen. Dann steht da das gewünschte R alleine. Wenn zwei Ausdrücke gleich sind, dann gilt das in beiden Richtungen; genau das bedeutet gleich. Und dann kann man die Seiten vertauschen, sodass wie zuvor erwähnt wie üblich die gewünschte Variable auf der linken Seite steht und wir erhalten $R = {U \over I}$.
Mit mehr Erfahrung wird man einfachere Umformungen “sehen” und nicht alles ausführlich aufschreiben. Wenn die Formeln zeilenweise untereinander stehen, wird auch gern das Äquivalenzzeichen weggelassen. Als Anfänger sollte man das nicht übertreiben, weil man dabei Rechenfehler leicht übersehen kann.
Betrachten wir noch ein etwas umfangreicheres Beispiel. Gegeben ist die Schwingkreisformel in dieser etwas ungewohnten Form:
$$ \omega^2 L C = 1$$
Wir wollen das nach f auflösen. Als erstes muss man dazu wissen, dass die Frequenz f in der Kreisfrequenz $\omega$ steckt. Der Kern der Formel, den wir als erstes freilegen müssen, ist also das $\omega$. Der erste Schritt ist also genau wie oben. Wir arbeiten uns von aussen an das $\omega$ heran, in dem wir durch L und C teilen.
$$ \omega^2 = {1 \over L C}$$
Nun wir das $\omega$ quadriert. Die Umkehrung ist die Wurzel.
$$ \begin{align}
\omega^2 &= {1 \over L C} \ \ \ \ \bigg \vert \sqrt{…} \\
\Longleftrightarrow \ \ \omega &= {1 \over \sqrt{LC}}
\end{align} $$
Als nächstes lösen wir $\omega$ zu $2 \pi f $ auf. Und wieder haben wir eine Multiplikation die wir mit einer Divsion umkehren.
$$ \begin{align}
2 \pi f &= {1 \over \sqrt{LC}} \ \ \ \ \bigg \vert / 2 \pi \\ \\
\Longleftrightarrow f &= {1 \over 2 \pi \sqrt{LC}} \
\end{align} $$
Jetzt erkennen wir unsere Schwingkreisformel wieder und können wie gewohnt damit rechnen.
Als Übungsaufgabe kann diese Formel nach C aufgelöst werden. Bei einer bekannten Frequenz f und einer festen Induktivität L kann dann so die benötigte Kapazität C berechnet werden.
Besonders bei der Division als Umkehrung ist zu beachten, dass die davon betroffene Variable nicht null sein darf. Man sagt, die Null gehört dann nicht mehr zum Definitionsbereich dieser Variable. Diese Fälle sollte man dann gesondert betrachten. Beim Ohm’schen Gesetz kann man dazu sagen, dass es ohne Strom keinen Spannungsabfall gibt und das gilt für alle Widerstände. Ohne fließenden Strom kann man also keine Aussage darüber treffen, wie groß der Widerstand ist.