Ein sogenanntes RC-Glied erhält man, in dem man einen Kondensator C über einen Widerstand R lädt. Da genau genommen immer ein Widerstand beteiligt ist, wenn ein Kondensator geladen wird, und wenn es nur der Innenwiderstand des C selber ist, lohnt es sich etwas davon zu verstehen.

Die Ladung Q eines Kondensators C hängt linear von seiner Spannung U ab.

$$ Q = C U $$

Eselsbrücke: “Eine Kuh ist eine Kuh.”

Die Ladung im Kondensator ist der Ladestrom I über die Zeit t integriert; bei konstantem I also einfach das Produkt aus I und t.

$$ I t = C U $$

Über die Spannung integriert bekommen wir die im Kondensator gespeicherte Energie.

$$ \int I t \, dU = \int C U \, dU $$

$$ U I t = P t = E = 1/2 \, C U^2 $$

Das ist nützlich um zu verstehen mit welchen Energiemengen wir es in der Praxis am Kondensator zu tun haben. Interessanterweise geht die Energie im Kondensator quadratisch mit der angelegten Spannung.

RC-GliedGehen wir zurück zur Ladung als Strom mal Zeit und teilen durch den Strom, so erhalten wir mit dem Ohm’schen Gesetz die Zeitkonstante $\tau$ des RC-Glieds einfach zu R mal C.

$$ \tau = R C $$

Über eine längere Rechnung erhält man die zeitabhängige Spannung U(t) am Kondensators des RC-Glieds, nachdem eine Spannung U0 vor dem Widerstand angelegt wurde. Hier sei nur so viel gesagt, dass in der Rechnung 1/t integriert werden muss. Das ist der eine Sonderfall bei den Ableitungen und Integralen der Potenzen. Es ergibt sich $ \int {1 / x} \, dx  = \ln(x) $. Dazu wird im weiteren Verlauf der Rechnung die Umkehrfunktion gebildet und so kommen wir dann hier zur e-Funktion:

$$ U(t) = U_0 ( 1 – e^{- t / \tau }) $$

Setzt man die Zeit t gleich $\tau$ = RC so erhält man die Ladung nach der Zeitkonstanten zu:

$$ U(\tau) = U_0 ( 1 – 1/e ) \approx 63 \% $$

Leitet man die Gleichung nach der Zeit ab, so erhält man den Verlauf der Steigung:

$$ {{dU} / { dt}} = U_0 \, { 1 \over  \tau } \, e^{- t / \tau } $$

Legt man eine Spannung U0 an, so beginnt die Spannung am Kondensator U(t) mit der Steigung des Kehrwerts der Zeitkonstante $1/ \tau$ anzusteigen. Würde es mit dieser Steigung weitergehen, wäre der Kondensator nach der Zeitkonstante aufgeladen; siehe die türkis-farbene Linie in der Grafik unten. Stattdessen flacht die Kurve ab, sodass sie nach der Zeitkonstante nur noch etwa 63 % der angelegten Spannung erreicht.

Wer mag, kann das alles auch mit LT-Spice simulieren. Hier dazu eine einfache Datei als Starthilfe: RC-Glied LT-Spice-Modell . Dazu die Datei in LT Spice laden, das Run-Symbol anklicken und den Messpunkt zwischen R und C anklicken.

Man kann anschaulich sagen die Spannung, die sich bereits im Kondensator aufgebaut hat, erzeugt einen “Gegendruck” gegen die weitere Aufladung. Nach der 5-fachen Zeitkonstante wird etwa 99 % der angelegten Spannung erreicht. Üblicherweise wird diese Dauer dann als “vollständig geladen” angenommen. Hier in der Grafik sehen wir den Verlauf für $\tau = 5$ und U= 1:RC-Glied Das entsprechend Umgekehrte geschieht beim Entladen, wenn die Spannung im Widerstand niedriger ist als die im Kondensator. Die Spannung im Kondensator folgt also immer auf die durch die Zeitkonstante definierte Weise e-förmig der angelegten Spannung.

Anwendungsfälle

Zum einen wirkt das RC-Glied wie ein Tiefpass. Auf der Zeitachse betrachtet verändert sich die Spannung einer tiefen Frequenz langsamer als die einer hohen. D.h. die Zeitkonstante des RC-Glieds ist im Verhältnis zur Periodendauer der Frequenz größer. Einer angelegten tiefen Frequenz kann es also besser folgen als einer höheren. Die Wirkung ist jedoch schwächer als die eines LC-Tiefpass.

Dann kann man diese mathematisch genau definierte “Rampe” des Spannungsverlaufs als Zeitgeber für einen Oszillator benutzen. Ein Umschalter mit Hysterese (“Schmitt-Trigger”) wird über so ein RC-Glied rückgekoppelt. Die Breite der Hysterese ergibt dann den Teil der Rampe, der durchlaufen wird. Das wird z.B. im NE555 genutzt.

Gleichzeitig ist die erreichte Spannung auch ein Maß für die Zeitdauer, in der eine Spannung angelegen hat. Sie bildet also das Integral der Spannung über der Zeit. Das lässt sich z.B. in einer PLL-Schleife nutzen.

Schließlich ist auch die Phasenverschiebung in einem RC-Glied durch die Wahl der Werte der Bauteile genau festgelegt. Das RC-Glied kann also als Phasenschieber benutzt werden. Das wird z.B. in dem Störausblender X-Phase angewendet. Der genaue Zusammenhang ist auch in dem oben schon erwähnten Artikel in Wikipedia beschrieben.

Hochpass

Kehrt man den Aufbau um, sodass ein Kondensator direkt an der Signalquelle liegt und über einen Widerstand entladen wird, so erhält man einen Hochpass. Das ist genau äquivalent zum Aufbau von einem LC-Hochpass und einem LC-Tiefpass.

Dieser Hochpass verhält sich dann auch umgekehrt als Differenzierer. Er bildet also die Ableitung bzw. die Steigung des anliegenden Signal.

Integrierer und Differenzierer werden in der Regelungstechnik genutzt. Neben der Ausregelung des direkt proportionalen Fehlers ist es oft auch sinnvoll die aufsummierte, bzw. integrierte Zeit, die der Fehler schon anliegt und die Geschwindigkeit des Anstiegs des Fehlers, also seine Ableitung bzw. englisch sein “Derivative”, in die Regelung mit einzubeziehen. Man spricht dann zusammen von einem PID-Regler.

 

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Kategorien: Technik