Eine Kurvendiskussion hilft die Eigenheiten einer Formel zu verstehen. Hier betrachten wir ein nicht triviales Beispiel:

$$ y = x e^x $$

Eins der wichtigsten Hilfsmittel der Kurvendiskussion ist die Ableitung. Hier nutzen wir die Produktregel der Ableitung und erhalten:

$$ y’ = e^x + x e^x $$

$$ = e^x (x+1) $$

Eine andere wichtige Methode ist die Ermittlung der Nullstellen. Eine wichtige Regel ist, dass bei Produkten jeder Term einzeln betrachtet werden kann. Die Wachstumsfunktion $e^x$ hat schon mal sicher keine Nullstelle. Bei der Funktion selber sieht man also gleich dass x=0 auch y=0 ergibt. Bei der Ableitung betrachten wir entsprechend auch nur den anderen Term:

$$ x+1 = 0 $$

$$ x = -1 $$

Nullstellen in der Ableitung bedeuten, dass die Kurve hier waagerecht verläuft, also für gewöhnlich ein Maximum oder Minimum hat. Es kann aber auch ein so genannter Sattelpunkt sein.

Nun rechnen wir von der Funktion und ihrer Ableitung, also der Steigung, einige markante Punkte aus:

$$ y(-1) = – {1 \over e} \, ; \,  y'(-1) = 0 $$

$$ y(0) = 0 \, ; \,   y'(0) = 1 $$

$$ y(1) = e  \, ; \,  y'(1)=2e $$

Für die Steigungs-Tangente bei x=1 brauchen wir noch den y-Achsenabschnitt k der entsprechenden Geradengleichung:

$$ y_g = a x + k $$

mit yg = e , a = 2e und x = 1:

$$ e = 2 e  + k \Rightarrow  k = -e $$

Nun können wir den Kurvenverlauf zeichnen:

 

KurvendiskussionFür große x ist der Kurvenverlauf vom exponentiellen Term dominiert. Qualitativ trägt das “mal x” nur wenig bei. Für kleine x gilt das beim Betrag auch. Aber die Kurve schmiegt sich “von unten”, also im negativen Bereich an die x-Achse an. Die auffälligen Dinge passieren um den Nullpunkt herum. Für x=1 ist y=e, genau wie bei der Exponentialfunktion. Aber die Steigung beträgt 2e.  Für x=0 haben wir einen Nulldurchgang mit Steigung 1. Der Nulldurchgang der Ableitung ist bei -1. Die Exponentialfunktion ist hier 1/e, unsere Funktion also -1/e .

Die Umkehrung davon wird als Lambert-W-Funktion  bezeichnet. Anderen Namen sind Omega-Funktion oder Produkt-Logarithmus. Die Umkehrung ist keine Funktion, weil sie wie z.B. die Quadratwurzel als Umkehrung des Quadrat mehrere Ergebnisse pro Argument hat. Auch ansonsten ist sie schwierig zu handhaben.

Umkehrung bedeutet y und x vertauschen. Grafisch entspricht das einer Spiegelung an der Winkelhalbierenden der Koordinaten, also der Gerade y=x . Eine Funktion wird das also genau dann, wenn jeder y-Wert nur ein Mal vorkommt. Bei periodischen Funktionen wie Sinus kann man die Funktion “retten” in dem man sich auf einen Teilbereich beschränkt. Der Rest besteht dann quasi aus “Kopien” dieses Bereichs. Bei der Wurzel sind die verschiedenen y-Werte genau das Negative zueinander. Man beschränkt sich dann auf die positiven Werte, wenn man das als Funktion braucht. Bei der Lambert-W-Funktion funktioniert keiner dieser “Tricks”.

Parametrische Darstellung

Aber es gibt doch eine Möglichkeit, diese Kurve geschlossen darzustellen; und nicht nur diese: Sogar Kurven die überhaupt gar keine funktionale Darstellung haben, können damit aufgeschrieben werden; z.B. ein Kreis. Der Trick heißt Parametrisierte Darstellung. Das bedeutet, man führt eine zusätzliche Variable t ein, den sogenannten Parameter. x und y werden dann jeweils als Funktion von t definiert. Im einfachsten Fall setzt man x und t gleich. Das funktioniert z.B. beim Quadrat, bzw. der Parabel, und man erhält die Wurzel als Umkehrfunktion ganz einfach und ohne Probleme durch Vertauschen von x und y, weil es hier kein erneutes Auflösen nach y gibt.

Hier bei unserer Formel kann man auch eine andere Substitution wählen. Was am Ende günstiger ist, hängt von der Formel und der Aufgabe ab. Hier wählen wir den natürlichen Logarithmus als Funktion des Parameter t für x. Die Funkton für y ergibt sich dann durch Einsetzen der Funktion für x.

$$ x= \ln t $$

$$ y = t \ln t $$

KurvendiskussionWenn man wie hier einen Parameter wählt, der keiner Achse entspricht, sind die Werte etwas unanschaulich. Aber das kennen wir ja im Prinzip schon von der Ortskurve. Diese ist die parametrierte Darstellung des komplexen Widerstands mit der Frequenz als Parameter.

Die Umkehrung ergibt sich dann wie gesagt einfach durch Vertauschen von x und y und so kann z.B. gnuplot das dann auch grafisch darstellen.

set parametric
plot t*log(t), log(t)

 

Kreis als parametrisierte Formel

Ein Beispiel wo man nicht so viel Freiheit hat, ist der Kreis. Es gibt keine Funktion f(x), die einen Kreis komplett zeichnen könnte, weil anschaulich gesagt auf beiden Koordinatenachsen Werte doppelt vergeben sind. Aber die Lösung in parametrischer Darstellung ist bekanntlich ganz einfach mit Radius r und dem Winkel a als Parameter von 0 bis 2 π:

$$ x = r \cos a $$

$$ y = r \sin a $$

Steigung einer parametrisierten Formel

Die Steigung ermitteln wir über eine Ableitung. Das gilt prinzipiell auch für parametrisierte Formeln. Aber nun haben wir zwei Gleichungen. Betrachten wir die beiden Gleichungen für die Koordinaten der Formel als Ortsvektor ist es recht naheliegend auch die beiden Gleichungen der Ableitung als Vektor zu betrachten. Es ist der tangentiale Richtungsvektor der Kurve. Die Ableitung gibt also genau wie in der gewohnten Darstellung einer Funktion an, wie die Kurve “weitergeht”. Aber in der parametrisierten Darstellung funktioniert das auch für senkrechte Kurvenverläufe oder wenn es sprichwörtlich “im Kreis rum geht”.

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