Endlichkeit, Abzählbarkeit, Mächtigkeit

Hat man eine bestimmte Anzahl von mathematischen Elementen, wie z.B. die Elemente einer Yagi-Uda-Antenne, wenn das Wortspiel hier erlaubt ist, dann ist die Menge der Elemente endlich. Ebenso erhält man eine endliche Menge an Elementen, wenn man eine eigentlich unendliche Menge an Elementen mehr oder weniger willkürlich abbricht. So z.B. wird man eine Taylor-Reihe abbrechen, wenn das Ergebnis genau genug ist. Oder man wird die Fresnel-Zonen nur so weit betrachten wie sie einen nennenswerten Einfluss auf die Übertragung haben.

Mit diesem Konzept eine eigentlich unendliche Reihe irgendwo abzubrechen setzen wir voraus, dass die Elemente eine Reihenfolge haben. Ich kann sie also durchnummerieren. Diese Eigenschaft wird Abzählbarkeit genannt. Die einfachste abzählbare Menge sind die Natürlichen Zahlen. Sie sind quasi die Definition der Abzählbarkeit. Wichtig ist hier zu verstehen, dass Abzählbarkeit nichts mit Endlichkeit zu tun hat. Anders gesagt: Die Abzählbarkeit braucht einen Anfang, aber kein Ende.

Betrachten wir die anderen bekannten Mengen von Zahlen so finden wir heraus, dass die Ganzen Zahlen mit einem kleinen Trick auch abzählbar sind: Wir nummerieren immer abwechselnd die positiven und die negativen Werte durch. So bekommt jede Ganze Zahl eine Natürliche Zahl zugeordnet. Genau das bedeutet, dass auch die Ganzen Zahlen zu den abzählbaren Mengen gehören. Das bei dieser Nummerierung die Reihenfolge verloren geht und sie nicht der Größe nach sortiert sind, spielt dabei keine Rolle.

Bei den Rationalen Zahlen müssen wir noch etwas tiefer in die Trickkiste greifen. Wir zerlegen sie in den ganzzahligen Zähler und den ganzzahligen Nenner und tragen sie grafisch als x- und y-Achse auf. Nun beginnen wir in der Mitte und nummerieren jeden Bruch spiralförmig durch. Wieder bekommt auf diese Weise jede Rationale Zahl eine Natürliche Zahl zugeordnet. Hier geht nicht nur die Reihenfolge verloren, sondern es gibt auch noch mehrere Zahlen, die den gleichen Wert haben. Auch das spielt für die Abzählbarkeit keine Rolle.

Für diese Darstellung der Abzählbarkeit der Rationalen Zahlen machen wir es uns etwas zu einfach und betrachten 2/3 als eine andere Zahl als 4/6. Auch erlauben wir hier „unerlaubte“ Brüche mit einer Division durch null. Eine exakte Beschreibung der Abzählbarkeit der Rationalen Zahlen ist als Erstes Diagonalargument von Cantor bekannt.

Gehen wir noch einen Schritt weiter und betrachten die Reellen Zahlen. Man könnte vermuten, dass es auch hier einen Trick gibt, die Reellen Zahlen abzuzählen. Tatsächlich ist das nicht möglich. Man kann umgekehrt beweisen, dass das eben nicht möglich ist. Die Reellen Zahlen sind überabzählbar. Es gibt also verschiedene Arten von Unendlichkeit. Man sagt, sie sind unterschiedlich mächtig. Diese Begriffe aus der Mengenlehre gehen auf Georg Cantor zurück.

Um sich klarzumachen, was die Abzählbarkeit unendlicher Mengen bedeutet, hat sich David Hilbert ein Gedankenexperiment ausgedacht. Ein Hotel hat unendlich viele Zimmer, die mit den Natürlichen Zahlen beschriftet sind. Trotz der Unendlichkeit hat also jedes Zimmer eine bestimmte Nummer. Nun kommt ein unendlich großer Bus, in dem die Sitzplätze mit den Natürlichen Zahlen beschriftet sind. Der Portier ist froh jedem Passagier aus dem Bus genau das Zimmer mit seiner Sitzplatznummer geben zu können. So finden alle Platz.

Nun kommt ein einsamer Wanderer und möchte auch noch ein Zimmer. Der Portier bittet alle Gäste in das Zimmer mit der nächst höheren Nummer umzuziehen. Immer noch hat jeder Gast ein Zimmer. Aber nun ist Zimmer 1 frei geworden und auch der Wanderer kann einziehen. Das verdeutlicht die Eigenschaft der Unendlichkeit, dass es kein letztes Element gibt.

Nun kommt noch ein weiterer unendlicher Bus und auch hier wollen alle in das Hotel. Der Portier bittet nun alle Gäste in das Zimmer mit der doppelten Zimmernummer umzuziehen. Auf diese Weise werden alle Zimmer mit ungerader Zimmernummer frei. Gerade Zahlen und Ungerade Zahlen sind zwar auf eine Weise jeweils nur die Hälfte der Natürlichen Zahlen. Aber andererseits sind sie auch beide für sich abzählbar unendlich. So können also auch vom zweiten Bus alle Gäste in die nun leeren Zimmer mit den ungeraden Zimmernummern einziehen. Unendlichkeiten werden also nicht kleiner, wenn man sie aufteilt. Aber sie werden umgekehrt auch nicht größer, wenn man etwas hinzufügt.

Auf diesen Gesetzmäßigkeiten der abzählbaren Unendlichkeiten beruhen viele Dinge wie z.B. der vielleicht noch aus der Schule bekannte Beweis durch vollständige Induktion oder auch der abstraktere Unvollständigkeitssatz von Gödel, vielleicht bekannt aus dem Buch von Hofstadter.

Man kann auch physikalische Dinge mit der Unendlichkeit argumentieren. Nehmen wir z.B. die Vermutung, dass Universum sei unendlich alt, unendlich groß und einigermaßen gleichmäßig mit leuchtenden Sternen gefüllt. Betrachten wir nun eine beliebige Blickrichtung die an unserer Sonne und den nächsten Sternen erst mal vorbeigeht. Dann wären dennoch in dieser Blickrichtung Sterne zu sehen. Der gesamte Himmel wäre gleichmäßig von Sternen angefüllt und gleichmäßig hell. Damit nicht genug: Weil die Energie der Sterne nirgends hin kann, wo nicht andere Sterne ebenfalls strahlen, wäre es auch überall gleich heiß, also ziemlich ungemütlich. Da das offensichtlich nicht so ist, muss mindestens eine der drei Annahmen von oben falsch sein. Diese Überlegung ist als Paradoxon von Olbers bekannt.