Gelegentlich müssen passive Bauteile seriell oder parallel geschaltet werden. Wie man das rechnet, steht in jeder Formelsammlung für Elektronik. Wie kommt man darauf? Man bedient sich der Kirchhoff’schen Regeln, dass in einer sogenannten Masche sich die Spannungen zu 0 aufaddieren und in einem sogenannten Knoten die Ströme.
Parallelschaltung
Bei mehreren Widerständen nebeneinander hat jeder seine eigene Masche, also seinen eigenen Strom. Aber die Spannung ist bei allen gleich. Also betrachten wir die einzelnen Ströme:
- I1 = U / R1
- I2 = U / R2
- I3 = U / R3
Da die drei Maschen in einem Knoten zusammenlaufen, ergibt sich hier der Gesamtstrom als Summe der Teilströme:
Igesamt = I1 + I2 + I3 = U (1/R1 + 1/R2 + 1/R3)
Durch den Vergleich mit der Grundform des Ohm’schen Gesetz ergibt sich hier, dass der Kehrwert des Gesamtwiderstands die Summe der Kehrwerte der Teilwiderstände ist.
Das gleiche gilt auch für die Parallelschaltung von Induktivitäten und die Reihenschaltung(!) von Kondensatoren.
Reihenschaltung
Bei mehreren Widerständen hintereinander befinden sich alle auf der gleichen Kante einer Masche. Es fließt also durch alle der gleiche Strom. Nehmen wir z. B. drei Widerstände und betrachten wir die Spannungen:
- U1 = R1 I
- U2 = R2 I
- U3 = R3 I
Da die drei in der gleichen Masche sind, summiert sich die Spannung:
Ugesamt = U1 + U2 + U3 = (R1 + R2 + R3) I
Durch Vergleich mit der Grundform des Ohm’schen Gesetz ergibt sich, dass der Gesamtwiderstand die Summe der Teilwiderstände ist.
Das Gleiche gilt auch für die Reihenschaltung von Induktivitäten und die Parallelschaltung(!) von Kondensatoren.
Spannungsteiler
Von der Reihenschaltung ist es nun nur noch ein kleiner Schritt zum Spannungsteiler. Betrachten wir also eine Reihenschaltung mit nur 2 Widerständen. Über beide Widerstände gemeinsam fällt die Gesamtspannung ab und als Gesamtwiderstand gilt die Summe der beiden Teilwiderstände. Durch beide Teilwiderstände fließt der gleiche Strom. Und damit fällt an den Teilwiderständen jeweils eine Teilspannung proportional zu ihrem Widerstandswert ab.
I = Ugesamt / Rgesamt = U2 / R2
Das kann man nun umstellen in die übliche Schreibweise:
U2 / Ugesamt = R2 / Rgesamt
Nun ist wird auch klar, warum das nur für den unbelasteten Spannungsteiler stimmt. Sobald man eine Last anschließt, wirkt die wie ein Widerstand parallel zu R2. Man muss das ganze also durchrechnen wie eine Parallelschaltung von R2 und RLast.
Sonderrolle Kondensator
Warum verhalten sich die Kapazitätswerte eines Kondensators genau umgekehrt wie die Werte von Widerstand und Spule? Eigentlich betrachten wir hier immer das Verhalten von Widerständen. Jetzt ist die Induktivität einer Spule proportional zu ihrem imaginären Widerstand. Die Kapazität eines Kondensators ist aber genau umgekehrt proportional zu seinem imaginären Widerstand. Deshalb verhält er sich scheinbar genau entgegengesetzt. Mehr dazu steht im Artikel über den Schwingkreis.
